Để chứng minh bài toán đã cho, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Chứng minh \( ABHE \) là tam giác vuông cân.

1. **Gọi \( A \) là đỉnh của tam giác vuông**: Trong tam giác vuông cân \( ABC \), \( AB = AC \).
2. **Gọi \( E \) là giao điểm giữa đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( H \) với \( AC \)**. Tương tự, gọi \( F \) là giao điểm giữa đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( G \) với \( AB \).
3. **Tam giác \( ABH \) vuông tại \( H \)** và **tam giác \( AGC \) vuông tại \( G \)**. Điều này cho thấy các cạnh \( AH \) và \( AG \) là chiều cao từ các điểm \( H \) và \( G \) đến cạnh \( BC \).
4. **Sử dụng định lý Pythagore**: Trong tam giác vuông cân \( ABH \), ta có \( AH^2 + BH^2 = AB^2 \) và trong tam giác vuông \( AGC \), ta có \( AG^2 + GC^2 = AC^2 \).
5. **Suy ra rằng \( AE = AF \)** và \( \angle AHB = \angle AGC = 90^\circ \). Vì vậy, tam giác \( ABHE \) vuông cân tại \( A \).

### b) Chứng minh tứ giác \( EFGH \) là hình vuông.

1. **Xét các góc**: Ta đã chứng minh rằng \( AE \perp EH \) và \( AF \perp FG \), từ đó suy ra \( EGH \) vuông tại các điểm \( E \) và \( F \).
2. **Các cạnh \( EH \) và \( FG \) đều bằng**: Theo giả thiết, \( BH = HG = GC \) nên độ dài các đoạn thẳng \( EH \) và \( FG \) cũng bằng nhau.
3. **Kết luận**: Tứ giác \( EFGH \) có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông, do đó nó là hình vuông.

Vậy ta đã hoàn tất chứng minh.