Để chứng minh định lý: "Nếu đường thẳng \( c \) cắt hai đường thẳng song song \( a \) và \( b \), thì hai góc trong cùng phía bù nhau", ta tiến hành như sau:

1. **Ký hiệu**: Giả sử \( a \) và \( b \) là hai đường thẳng song song, và \( c \) là đường thẳng cắt hai đường thẳng này. Gọi điểm giao nhau của \( c \) với \( a \) là \( A \) và với \( b \) là \( B \).

2. **Góc được hình thành**: Tại điểm \( A \), ta có các góc: góc \( \alpha \) (góc giữa đường thẳng \( c \) và đường thẳng \( a \)) và góc \( \beta \) (góc giữa đường thẳng \( c \) và đường thẳng \( b \)). Tại điểm \( B \), các góc tương tự sẽ được hình thành, ta có góc \( \alpha' \) (góc giữa \( c \) và \( b \)) và góc \( \beta' \) (góc giữa \( c \) và \( a \)).

3. **Tính chất góc**: Vì \( a \) và \( b \) là hai đường thẳng song song, theo định lý các góc đồng vị (góc đồng vị), ta có:
- \( \alpha = \alpha' \)
- \( \beta = \beta' \)

4. **Góc bù nhau**: Hai góc trong cùng phía bù nhau nghĩa là tổng của chúng bằng \( 180^{\circ} \). Ta có:
\[
\alpha + \beta = 180^{\circ}
\]
Điều này có nghĩa là hai góc, một góc ở điểm \( A \) và một góc ở điểm \( B \) (góc trong cùng phía) bù nhau.

5. **Kết luận**: Do đó, ta đã chứng minh rằng nếu đường thẳng \( c \) cắt hai đường thẳng song song \( a \) và \( b \), thì hai góc trong cùng phía \( \alpha \) và \( \beta \) bù nhau.

Định lý được chứng minh đã hoàn tất.