Ta cần tìm \( x \) sao cho biểu thức \( \frac{x + 5}{x - 2} \) chia hết cho \( x - 2 \).

Trước tiên, ta sẽ kiểm tra điều kiện chia hết. \( \frac{x + 5}{x - 2} \) chia hết cho \( x - 2 \) khi và chỉ khi \( x + 5 \) chia hết cho \( x - 2 \).

Ta có thể viết điều kiện này dưới dạng:

\[
x + 5 = k(x - 2)
\]

với \( k \) là một số nguyên.

Mở rộng phương trình:

\[
x + 5 = kx - 2k
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
x - kx + 2k + 5 = 0
\]

Rút gọn:

\[
(1 - k)x + (2k + 5) = 0
\]

Để điều này có nghiệm, ta cần \( 1 - k \neq 0 \). Nếu \( 1 - k = 0 \), tức là \( k = 1 \), thì phương trình trở thành \( 2k + 5 = 0 \), dẫn đến không có nghiệm.

Nếu \( k \neq 1 \), thì ta có:

\[
x = -\frac{(2k + 5)}{(1 - k)}
\]

Để \( x \) là một số nguyên, \( 2k + 5 \) cần được chia cho \( 1 - k \) mà không có dư.

Ta có thể thử một số giá trị nguyên cho \( k \) để tìm các giá trị của \( x \):

- Nếu \( k = 0 \):
\[
x = -\frac{5}{1} = -5
\]
- Nếu \( k = 2 \):
\[
x = -\frac{4 + 5}{1 - 2} = -\frac{9}{-1} = 9
\]
- Nếu \( k = 3 \):
\[
x = -\frac{6 + 5}{1 - 3} = -\frac{11}{-2} = \frac{11}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

Tiếp tục như vậy cho đến khi tìm được các giá trị nguyên thích hợp cho \( x \).

Như vậy, các giá trị theo \( k \) có thể là \( x = -5 \) và \( x = 9 \).

Vậy các giá trị của \( x \) sao cho \( \frac{x + 5}{x - 2} \) chia hết cho \( x - 2 \) là:

\[
x = -5 \quad \text{hoặc} \quad x = 9
\]