Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### Bài 1:
Cho đường kính AD, dây AB không đi qua tâm, và H là giao điểm của các đường vuông góc từ A và B đến AD. Chúng ta có:

- \( AB = 15 \, \text{cm} \)
- \( BC = 18 \, \text{cm} \)

a. **Tính AH:**

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH, ta có:
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2
\]
Với \( BH = AH \) (do H nằm trên AD và AD vuông góc với BC), ta có:
\[
AH^2 + AH^2 = 15^2
\]
\[
2AH^2 = 225
\]
\[
AH^2 = 112.5
\]
\[
AH = \sqrt{112.5} \approx 10.61 \, \text{cm}
\]

b. **Tính bán kính (O):**

Bán kính \( R \) của đường tròn (O) có thể tính bằng công thức:
\[
R = \sqrt{AH^2 + HD^2}
\]
Trong đó, \( HD \) là đoạn từ H đến D. Tuỳ vào việc xác định đoạn này trong bài toán, nếu không có thêm thông tin, chúng ta không thể tính chính xác bán kính.

### Bài 2:
Cho tam giác vuông ABC tại A với:
- \( AB = 7.5 \, \text{cm} \)
- \( AH = 4.5 \, \text{cm} \) (đường cao từ A)

Để tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có công thức:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
Trong đó:
- \( a = BC \)
- \( b = AC \)
- \( c = AB \)
- \( S \) là diện tích của tam giác.

Trước tiên, tính diện tích \( S \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 7.5 \cdot 4.5 = 16.875 \, \text{cm}^2
\]

Giả sử \( AC \) và \( BC \) được tính từ kích thước của tam giác, bạn cần thông tin thêm để tính \( R \).

Tóm lại, bạn đã có cách tính \( AH \) và diện tích \( S \). Tuy nhiên, bạn sẽ cần tham số thêm để xác định đường kính và bán kính trong một số liệu chính xác hơn.