Tìm 2 số nguyên tố p, q thỏa mãn: p^4 - q^2(p^2 + q^2 + 1) = (q^2 + 1)^2

Để giải phương trình \( p^4 - q^2(p^2 + q^2 + 1) = (q^2 + 1)^2 \), chúng ta sẽ thực hiện một số bước biến đổi và kiểm tra các số nguyên tố.

Bắt đầu với phương trình ban đầu:

\[
p^4 - q^2(p^2 + q^2 + 1) = (q^2 + 1)^2
\]

Sắp xếp lại, chúng ta có:

\[
p^4 - q^2(p^2 + q^2 + 1) - (q^2 + 1)^2 = 0
\]

Ta sẽ thay \( (q^2 + 1)^2 \) bằng \( q^4 + 2q^2 + 1 \), do đó phương trình trở thành:

\[
p^4 - q^2(p^2 + q^2 + 1) - (q^4 + 2q^2 + 1) = 0
\]

Mở rộng ra:

\[
p^4 - q^2p^2 - q^4 - q^2 - q^4 - 2q^2 - 1 = 0
\]

Điều này dẫn đến:

\[
p^4 - q^2p^2 - 2q^4 - 3q^2 - 1 = 0
\]

Từ đây, ta thấy đây là một phương trình có dạng đa thức. Để tìm giá trị của \( p \) và \( q \) là các số nguyên tố, ta sẽ thực hiện một số phép thử.

Giả sử chúng ta thử với các số nguyên tố nhỏ:

1. Nếu \( q = 2 \):
\[
p^4 - 2^2(p^2 + 2^2 + 1) = (2^2 + 1)^2
\]
\[
p^4 - 4(p^2 + 4 + 1) = 25
\]
\[
p^4 - 4p^2 - 20 = 0
\]

Đặt \( x = p^2 \):
\[
x^2 - 4x - 20 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 16 + 80 = 96
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{96}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{6}
\]
Không phải là số nguyên.

2. Nếu \( q = 3 \):
\[
p^4 - 3^2(p^2 + 3^2 + 1) = (3^2 + 1)^2
\]
\[
p^4 - 9(p^2 + 9 + 1) = 100
\]
\[
p^4 - 9p^2 - 100 = 0
\]

Tương tự như trên, ta có:
\[
x^2 - 9x - 100 = 0
\]
\[
\Delta = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 81 + 400 = 481
\]

Tính nghiệm:
\[
x = \frac{9 \pm \sqrt{481}}{2}
\]
Chưa tìm được giải nghiệm nguyên.

Tiếp tục thử với các giá trị nhỏ hơn của \( p \) và \( q \).

Cuối cùng, ta nhận thấy rằng không có kết quả số nguyên và nguyên tố cho các số thử trên. Tìm hiểu thêm hay phương pháp khác có thể cần thiết để giải quyết phương trình này, nhưng thông qua các giá trị thử cho ta thấy không tìm được cặp \( (p, q) \) nguyên tố nào thỏa mãn.

Khi làm việc với các phương trình phức tạp như này, thường sẽ yêu cầu có các kỹ thuật hoặc lý thuyết số học sâu hơn để giải quyết nếu thử nghiệm trực tiếp không thành công.