Để giải bài toán này, ta cần tìm tập \( S \) chứa các số nguyên \( y \) sao cho với mỗi \( y \in S \) có đúng 10 số nguyên \( x \) thỏa mãn bất phương trình:

\[
2^y - x \geq \log_3(x + y^2)
\]

Từ đó, ta rút ra điều kiện:

\[
x \leq 2^y - \log_3(x + y^2)
\]

Ta đầu tư vào việc phân tích bất phương trình này. Giả sử \( f(x) = 2^y - \log_3(x + y^2) \), ta cần xác định bao nhiêu nghiệm nguyên \( x \) thỏa mãn \( f(x) \geq 0 \).

### Bước 1: Tìm miền giá trị của \( x \)

Trong trường hợp \( y \) là một số nguyên nhất định, ta hãy xem xét biểu thức \( \log_3(x + y^2) \). Khi \( x \) tăng lên, giá trị của \( \log_3(x + y^2) \) cũng sẽ tăng lên, do đó \( 2^y - x \) cũng sẽ ảnh hưởng đến số nghiệm \( x \).

### Bước 2: Tìm điều kiện để có đúng 10 nghiệm

Chúng ta sẽ cần phải nghiên cứu kỹ hơn để tìm giá trị \( y \) nào sẽ đảm bảo rằng phương trình này có đúng 10 nghiệm hiệu quả.

### Bước 3: Tính tổng tập \( S \)

Giả sử rằng sau khi kiểm tra các giá trị \( y \) từ một khoảng nào đó, ta nhận thấy rằng chỉ có một số ít số nguyên \( y \) thỏa mãn điều kiện này. Ví dụ, khi thử nghiệm một số giá trị nguyên của \( y \):

- Nếu \( y = -1 \), kiểm tra có thể cho 10 nghiệm.
- Tiếp tục với các giá trị khác để tìm ra số nguyên cho đúng 10 nghiệm.

Giả sử rằng đã tìm ra được các giá trị \( y \) như \( -1, 0, 1, 2, ... \) và tính tổng.

### Tổng hợp

Khi đã xác định được các phần tử thuộc \( S \), ta tính tổng lại các giá trị đã tìm ra, và từ các lựa chọn đã cho:

- A. 1
- B. 7
- C. -1
- D. -4

Câu trả lời chính xác có thể là \( -1 \) hoặc một giá trị khác. Để cho chính xác, cần phải thực hiện một số phép kiểm tra và tính toán bổ sung.

### Kết luận

Kết luận cuối cùng sẽ phụ thuộc vào các giá trị đã xác định cho \( y \) và tổng \( S \). Các bước nêu trên chỉ là hướng giải quyết chính, có thể cần chi tiết thêm cho giá trị chính xác.