Để chứng minh tỉ số khoảng cách từ điểm \( H \) đến đường thẳng \( EN \) và \( DN \) bằng tỉ số \( \frac{EM}{DN} \), ta sẽ sử dụng một số định lý hình học cơ bản liên quan đến khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và sự đồng quy của các đường cao trong tam giác.

### Giải thích các ký hiệu:
- Gọi \( D \), \( E \) là giao điểm của các đường cao \( BD \) và \( CE \) với cạnh \( AC \) và \( AB \), tương ứng.
- \( H \) là điểm giao nhau của các đường cao \( BD \) và \( CE \).
- \( M \) là chân đường vuông góc từ điểm \( E \) xuống cạnh \( BC \).
- \( N \) là chân đường vuông góc từ điểm \( D \) xuống cạnh \( BC \).

### Chứng minh:

1. **Khoảng cách từ \( H \) đến các đường thẳng**:
- Khoảng cách từ \( H \) đến đường thẳng \( EN \) được ký hiệu là \( d(H, EN) \).
- Khoảng cách từ \( H \) đến đường thẳng \( DN \) được ký hiệu là \( d(H, DN) \).

2. **Sử dụng đường thẳng vuông góc**:
- Khi một đường vuông góc từ điểm đến đường thẳng được vẽ, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng chính là độ dài của đường vuông góc đó.
- Đường cao từ \( H \) đến \( EN \) và \( DN \) sẽ tạo thành các đoạn vuông góc \( HK \) và \( HL \) với \( K \in EN \) và \( L \in DN \).

3. **Tỷ lệ phần**:
- Ta có thể sử dụng định lý về tương đồng giữa các tam giác:
- Tam giác \( HEM \) tương tự với tam giác \( HEN \) do góc \( H \) và các góc ở \( E \) và \( D \) đều bằng nhau (do đường cao).
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{d(H, EN)}{EM} = \frac{d(H, DN)}{DN}
\]

4. **Thực hiện chứng minh**:
- Theo tỉ lệ tương ứng, ta có thể biến đổi công thức này thành:
\[
d(H, EN) \cdot DN = d(H, DN) \cdot EM
\]
và từ đó, tỉ số khoảng cách mà ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{d(H, EN)}{d(H, DN)} = \frac{EM}{DN}
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài chứng minh mà bạn yêu cầu, với tỉ số khoảng cách từ điểm \( H \) đến các đường thẳng \( EN \) và \( DN \) bằng \( \frac{EM}{DN} \).