Xét tính đồng biến và nghịch biến: Y = 2cos(x + π/3) + 3

Để xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số \( Y = 2 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 \), trước tiên, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số này theo biến \( x \).

Hàm số đã cho là:

\[
Y = 2 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3
\]

Đạo hàm của \( Y \) theo \( x \) là:

\[
\frac{dY}{dx} = 2 \cdot \left(-\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)
\]

Vậy nên,

\[
\frac{dY}{dx} = -2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)
\]

### Xét tính đồng biến và nghịch biến

- Hàm số \( Y \) đồng biến khi \( \frac{dY}{dx} > 0 \).
- Hàm số \( Y \) nghịch biến khi \( \frac{dY}{dx} < 0 \).

Giải bất phương trình \( \frac{dY}{dx} > 0 \) và \( \frac{dY}{dx} < 0 \):

1. **Đồng biến**:
\[
-2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) > 0 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) < 0
\]

Hàm số \( \sin(t) < 0 \) khi \( t \) thuộc khoảng:
\[
(2k\pi, (2k + 1)\pi) \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Do đó, với \( t = x + \frac{\pi}{3} \):
\[
2k\pi < x + \frac{\pi}{3} < (2k + 1)\pi
\]
\[
2k\pi - \frac{\pi}{3} < x < (2k + 1)\pi - \frac{\pi}{3}
\]
\[
\Rightarrow 2k\pi - \frac{\pi}{3} < x < (2k + 1)\pi - \frac{\pi}{3}
\]
\[
\Rightarrow 2k\pi - \frac{\pi}{3} < x < 2k\pi + \frac{2\pi}{3}
\]

2. **Nghịch biến**:
\[
-2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) < 0 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) > 0
\]

Hàm số \( \sin(t) > 0 \) khi \( t \) thuộc khoảng:
\[
(2k\pi, (2k + 1)\pi) \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Do đó, với \( t = x + \frac{\pi}{3} \):
\[
2k\pi < x + \frac{\pi}{3} < (2k + 1)\pi
\]
\[
\Rightarrow 2k\pi - \frac{\pi}{3} < x < (2k + 1)\pi - \frac{\pi}{3}
\]
\[
\Rightarrow 2k\pi - \frac{\pi}{3} < x < 2k\pi + \frac{2\pi}{3}
\]

### Kết luận
Hàm số \( Y = 2 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 3 \) đồng biến trên các khoảng:

\[
\left(2k\pi - \frac{\pi}{3}, 2k\pi + \frac{2\pi}{3}\right), \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Và nghịch biến trên các khoảng:

\[
\left(2k\pi + \frac{2\pi}{3}, (2k + 1)\pi - \frac{\pi}{3}\right), \quad k \in \mathbb{Z}
\]