Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = f(|x|) \), ta cần xem xét bảng biến thiên của \( f(x) \) đã cho. Dựa vào bảng biến thiên:

1. Hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) \):
- Từ \( -\infty \) đến \( 0 \): \( f'(x) > 0 \) (hàm tăng)
- Tại \( x = 0 \): \( f'(0) = 0 \) (có thể là cực trị)
- Từ \( 0 \) đến \( 1 \): \( f'(x) < 0 \) (hàm giảm)
- Tại \( x = 1 \): \( f'(1) = 0 \) (có thể là cực trị)
- Từ \( 1 \) đến \( +\infty \): \( f'(x) > 0 \) (hàm tăng)

2. Với hàm số \( y = f(|x|) \):
- Khi \( x < 0 \): \( f(|x|) = f(-x) \), tức là hàm số vẫn tiếp tục theo dạng biến thiên của \( f(x) \).
- Khi \( x > 0 \): \( f(|x|) = f(x) \).

Vì hàm số có điểm cực trị tại \( x = 0 \) và \( x = 1 \), ta sẽ có một điểm cực trị tại \( x = 0 \) (cực tiểu) và một điểm cực trị tại \( x = 1 \) (cực đại).

Do đó, tổng số điểm cực trị của hàm số \( y = f(|x|) \) là 2. Vì vậy, đáp án đúng là:

**C. 2**.