Để giải bài toán liên quan đến hình bình hành ABCD với các điểm được xác định như đã nêu, chúng ta lần lượt làm từng phần một.

## a) Chứng minh \(OM = ON\) và \(AMCN\) là hình bình hành.

### 1. Chứng minh \(OM = ON\):

- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của từng đường.

- M là trung điểm của OD và N là trung điểm của OB, do đó:
- \(OM = \frac{1}{2}OD\)
- \(ON = \frac{1}{2}OB\)

- Bởi vì O là trung điểm của cả hai đoạn thẳng (OD và OB), nên:
- \(OD = OB\)

Do đó, chúng ta có:
\[
OM = \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}OB = ON
\]
Vì vậy, \(OM = ON\).

### 2. Chứng minh \(AMCN\) là hình bình hành:

- Bởi vì \(OM = ON\), và O là điểm chung của hai đoạn thẳng AM và CN, nên \(AM\) và \(CN\) sẽ cắt nhau tại O và chia nhau thành các đoạn bằng nhau.

- Do đó, \(AM\) // \(CN\) vì chúng có cùng tâm O, và \(OM = ON\).

- Điều này thỏa mãn một trong những điều kiện để AMCN là hình bình hành: hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

Vậy \(AMCN\) là một hình bình hành.

## b) Chứng minh AFCE là hình bình hành:

### 1. Chứng minh AF // CE và AF = CE:

- Từ phần a), chúng ta có AM và CN cắt nhau tại O. Ta cũng biết rằng các điểm A, F, C và E lần lượt chia đều với O tại các đoạn AM và CN.

- Điểm E là giao điểm của AM và CD, và điểm F là giao điểm của CN và AB.

- Bởi vì AB // CD (do tính chất của hình bình hành) và EF // OM (vì chúng ta đã chứng minh OM và ON), ta có:
\[
AF // CE
\]

### 2. Chứng minh \(AF = CE\):

- Từ O đến A, F là một điểm trên đoạn AM. Tương tự, điểm E trên CD và C trên CN.

- Bởi vì O là trung điểm của OD và OB (cụ thể là AM = CN do tính đối xứng của hình bình hành), chúng ta có:
\[
AF = CE
\]

### Kết luận:

- Với AF // CE và AF = CE, trong đó hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, nên AFCE là hình bình hành.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được:

a) \(OM = ON\) và \(AMCN\) là hình bình hành.

b) \(AFCE\) là hình bình hành.