Tìm x

Để giải phương trình:

\[
\sin\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right),
\]

ta sử dụng định luật đồng dạng cho hàm sin:

\[
-\sin A = \sin\left(\pi - A\right).
\]

Áp dụng cho trường hợp của ta, ta có:

\[
\sin\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) = \sin\left(\pi - \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right).
\]

Rút gọn bên phải:

\[
\pi - \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \pi - x - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} - x.
\]

Vậy ta có phương trình mới:

\[
\sin\left(2x - \frac{\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6} - x\right).
\]

Sử dụng tính chất hàm sin, chúng ta có hai trường hợp:

1. \(2x - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{6} - x + 2k\pi\)
2. \(2x - \frac{\pi}{5} = \pi - \left(\frac{5\pi}{6} - x\right) + 2k\pi\)

Trong đó \(k\) là số nguyên.

**Giải cho trường hợp 1:**

\[
2x + x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{5} + 2k\pi
\]

Tìm mẫu số chung:

\[
\frac{5\pi}{6} = \frac{25\pi}{30}, \quad \frac{\pi}{5} = \frac{6\pi}{30} \implies \frac{25\pi}{30} + \frac{6\pi}{30} = \frac{31\pi}{30}.
\]

Vậy ta có:

\[
3x = \frac{31\pi}{30} + 2k\pi \implies x = \frac{31\pi}{90} + \frac{2k\pi}{3}.
\]

**Giải cho trường hợp 2:**

\[
2x - \frac{\pi}{5} = \pi - \left(\frac{5\pi}{6} - x\right) + 2k\pi.
\]

Rút gọn:

\[
2x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + x + 2k\pi.
\]

Giải tương tự như trên:

\[
2x - x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{5} + 2k\pi.
\]

Tìm mẫu số chung:

\[
\frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{30}, \quad \frac{\pi}{5} = \frac{6\pi}{30} \implies \frac{5\pi}{30} + \frac{6\pi}{30} = \frac{11\pi}{30}.
\]

Vậy ta có:

\[
x = \frac{11\pi}{30} + 2k\pi.
\]

**Kết quả:**

Giải nghiệm cho \(k \in \mathbb{Z}\):

1. \(x = \frac{31\pi}{90} + \frac{2k\pi}{3}\)
2. \(x = \frac{11\pi}{30} + 2k\pi\)

Đây là các giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình ban đầu.