Để khai triển biểu thức \((2x + 1)^3 (2x + 1)^3\), trước hết chúng ta có thể nhận thấy rằng \((2x + 1)^3 (2x + 1)^3\) tương đương với \(((2x + 1)^3)^2\). Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển \((2x + 1)^3\) trước.

Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

Với \(a = 2x\), \(b = 1\), và \(n = 3\):

\[
(2x + 1)^3 = \binom{3}{0}(2x)^3(1)^0 + \binom{3}{1}(2x)^2(1)^1 + \binom{3}{2}(2x)^1(1)^2 + \binom{3}{3}(2x)^0(1)^3
\]

Tính từng hạng tử:

1. \( \binom{3}{0}(2x)^3 = 1 \cdot 8x^3 = 8x^3 \)
2. \( \binom{3}{1}(2x)^2(1) = 3 \cdot 4x^2 = 12x^2 \)
3. \( \binom{3}{2}(2x)(1)^2 = 3 \cdot 2x = 6x \)
4. \( \binom{3}{3}(1)^3 = 1 \)

Ghép tất cả lại, ta có:

\[
(2x + 1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1
\]

Bây giờ chúng ta sẽ khai triển \(((2x + 1)^3)^2\):

\[
((2x + 1)^3)^2 = (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1)^2
\]

Sử dụng quy tắc khai triển nhị thức một lần nữa:

\[
(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
\]

Đặt \(a = 8x^3\), \(b = 12x^2\), \(c = 6x\), \(d = 1\):

1. \(a^2 = (8x^3)^2 = 64x^6\)
2. \(b^2 = (12x^2)^2 = 144x^4\)
3. \(c^2 = (6x)^2 = 36x^2\)
4. \(d^2 = 1^2 = 1\)

Tổng các hạng tử bình phương:

\[
64x^6 + 144x^4 + 36x^2 + 1
\]

Tính các hạng tử chéo:

- \(2ab = 2 \cdot 8x^3 \cdot 12x^2 = 192x^5\)
- \(2ac = 2 \cdot 8x^3 \cdot 6x = 96x^4\)
- \(2ad = 2 \cdot 8x^3 \cdot 1 = 16x^3\)
- \(2bc = 2 \cdot 12x^2 \cdot 6x = 144x^3\)
- \(2bd = 2 \cdot 12x^2 \cdot 1 = 24x^2\)
- \(2cd = 2 \cdot 6x \cdot 1 = 12x\)

Tổng hạng tử chéo:

\[
192x^5 + (96x^4 + 144x^3 + 16x^3 + 24x^2 + 12x) = 192x^5 + 96x^4 + 160x^3 + 24x^2 + 12x
\]

Cuối cùng, ghép lại toàn bộ:

\[
(2x + 1)^3(2x + 1)^3 = 64x^6 + 192x^5 + 240x^4 + 52x^3 + 24x^2 + 12x + 1
\]

Do đó, khai triển hoàn chỉnh của \((2x + 1)^3(2x + 1)^3\) là:

\[
\boxed{64x^6 + 192x^5 + 240x^4 + 52x^3 + 24x^2 + 12x + 1}
\]