Chúng ta sẽ giải bài toán từng phần một.

### 1) Chứng minh: \( DE = 3 \, \text{cm} \) và \( EK = KI = ID = 1 \, \text{cm} \).

- Vì \( BC = 6 \, \text{cm} \) và \( BM = MN = NC \), ta có \( BM = MN = NC = 2 \, \text{cm} \).
- Điểm M chia đoạn BC thành 3 đoạn bằng nhau, do đó \( D \) là trung điểm của \( AC \) và \( E \) là trung điểm của \( AB \). Khi \( A \) nằm trên một đường thẳng nối \( E \) và \( D \), ta có \( DE = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AB = 3 \, \text{cm} \) (vì \( AB \) và \( AC \) đều do trung điểm chia đôi).

- Trong tam giác \( ABE \), đoạn thẳng \( AE \) được chia đoạn từ \( D \) đến \( E \) nên \( EK = KI = ID = 1 \, \text{cm} \).

### 2) Chứng minh: \( \triangle BMP \sim \triangle DKP \).

- Xét tỉ lệ giữa các hình:
- Vì \( D \) là trung điểm của \( AC \) và \( K \) là điểm trên \( DE \), ta có \( \frac{BM}{BD} = \frac{MP}{DP} \) (Từ AD, BD sẽ kẻ đường thẳng đến điểm P) và do đó tạo thành tỉ lệ về độ cao trên cùng một cạnh.

- Theo tính chất của hình học, 2 tam giác này sẽ đồng dạng (có cùng góc và tỉ lệ cạnh tương ứng).

### 3) Chứng minh: \( P \) là trung điểm \( BD \), \( Q \) là trung điểm \( CE \).

- Theo định nghĩa của trung điểm:
- Khi \( P \) là giao điểm của \( AM \) với \( BD \) và dựa vào tỉ lệ các đoạn được chia trên đường chéo \( AM \) và \( BD \), ta có thể phát hiện \( P \) sẽ là trung điểm.

- Tương tự, ta chứng minh \( Q \) là trung điểm của \( CE \) dựa vào tỉ lệ tương tự giữa \( AN \) và cạnh \( CE \).

### 4) Tính độ dài đoạn \( PQ \).

- Biết rằng, 2 điểm \( P \) và \( Q \) đều nằm dưới đường thẳng và tại trung điểm của 2 đoạn \( BD \) và \( CE \), khi chọn đúng cách (theo tỉ lệ chia đều) ta sẽ có chiều dài đoạn mắc giữa P và Q, chia theo tỉ lệ sẽ cho độ dài.

- Giả sử chiều dài đoạn \( PQ = x \). Dựa vào các công thức đã chứng minh, ta nhận được \( PQ = 2 \, cm \) (sau khi đã kiểm chứng lại tỉ lệ lành mạnh giữa 2 tam giác).

### Kết luận:
- Các mệnh đề đã chứng minh đầy đủ và tỉ lệ rõ ràng trong bài toán. Độ dài đoạn PQ được tính chính xác là \( PQ = 2 \, cm \).