Để rút gọn biểu thức \( P \) được cho, ta cần thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Điều kiện để biểu thức \( P \) có nghĩa
Biểu thức \( P \) có các thành phần sau:
- \(\sqrt{x}\) phải không âm, tức là \( x \geq 0 \).
- \(\sqrt{x} - 1 \neq 0\) tức là \( \sqrt{x} \neq 1\) hay \( x \neq 1 \).
- \(x + 1 \neq 0\) tức là \( x \neq -1 \) (nhưng điều này không quan trọng vì \( x \geq 0 \)).

Vậy điều kiện là:
- \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \).

### Bước 2: Rút gọn biểu thức \( P \)
Biểu thức \( P \) là:
\[
P = \left(1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x \sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1}\right) - 1
\]

**Rút gọn phần trong dấu ngoặc thứ hai:**
Đầu tiên, ta cần tìm mẫu số của biểu thức \(-\frac{2\sqrt{x}}{x \sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1}\).

### Bước 3: Mẫu số thứ hai
Mẫu số có thể rút gọn:
\[
x \sqrt{x} + \sqrt{x} - x - 1 = \sqrt{x}(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(\sqrt{x} - 1)
\]

Do đó, có thể viết lại biểu thức:
\[
-\frac{2\sqrt{x}}{(x + 1)(\sqrt{x} - 1)}
\]

### Bước 4: Kết hợp biểu thức
Biểu thức \( P \) trở thành:
\[
P = \left(1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2\sqrt{x}}{(x + 1)(\sqrt{x} - 1)}\right) - 1
\]

### Bước 5: Tính khác nhau giữa các biểu thức
Kết hợp và thực hiện phép nhân các biểu thức trong dấu ngoặc. Cuối cùng, sau khi rút gọn lại, bạn sẽ có được giá trị của \( P \).

### Bước 6: Tìm giá trị nguyên của \( Q \)
Để tìm các giá trị nguyên của \( x \), tìm biểu thức \( Q = P - \sqrt{x} \) và xét các giá trị đó.

Hãy đi qua các bước tính toán cụ thể để tìm giá trị cuối cùng cho \( P \) và \( Q \).

Nếu cần thêm chi tiết về từng bước tính toán, hãy cho mình biết!