Để chứng minh bất đẳng thức \( a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ca} \) với \( a, b, c > 0 \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương \( a, b, c \) như sau:

\[
(a + b + c)\left(1 + 1 + 1\right) \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2
\]

Từ đó, ta có:

\[
3(a + b + c) \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2
\]

Chúng ta xem xét một dạng khác của bất đẳng thức:

\[
(x+y+z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9
\]

với \( x = \sqrt{a}, y = \sqrt{b}, z = \sqrt{c} \).

Nhưng để chứng minh bất đẳng thức ban đầu \( a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ca} \), ta sẽ kiểm tra một cách trực tiếp hơn.

Ta có thể điều chỉnh lại bất đẳng thức như sau:

\[
a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{ca} \geq 0
\]

Đặt \( c = 0 \) để dễ tính toán. Khi đó, bất đẳng thức trở thành:

\[
a + b \geq \sqrt{ab}
\]

Bất đẳng thức này đúng vì nó có thể được viết lại dưới dạng bình phương:

\[
(a - \sqrt{ab}) + (b - \sqrt{ab}) \geq 0 \implies (a - \sqrt{ab})^2 + (b - \sqrt{ab})^2 \geq 0
\]

Và vì \( a, b > 0 \) nên tổng hai bình phương này là không âm.

Quay trở lại với bất đẳng thức ban đầu, xuyên suốt cho mọi giá trị dương của \( c \), ta có thể lập luận tương tự. Ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
\]
\[
\frac{c+c}{2} = c \geq \sqrt{ca}
\]

Do đó, tổng các bất đẳng thức trên có thể cho thấy rằng:

\[
a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ca}
\]

Như vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.

Kết luận:

\[
a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{ca} \quad \text{với} \quad a, b, c > 0.
\]