Để giải hệ phương trình chứa hai biến \(x\) và \(y\), chúng ta sẽ tiếp cận từng phương trình một.

### Phương trình 1:

Phương trình 1 cho biết:

\[
x^2 + 49y^2 + 5 + 14y = 4x
\]

Chúng ta sẽ biến đổi phương trình này về dạng chuẩn hơn bằng cách đưa tất cả các hạng tử về một phía:

\[
x^2 - 4x + 49y^2 + 14y + 5 = 0
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\).

**Nhóm từ liên quan đến \(x\):**

\[
x^2 - 4x \quad \text{có thể viết lại thành } (x-2)^2 - 4
\]

**Nhóm từ liên quan đến \(y\):**

\[
49y^2 + 14y \quad = 49(y^2 + \frac{14}{49}y) = 49(y^2 + \frac{2}{7}y)
\]

Chúng ta cần hoàn thành bình phương cho \(y\):

\[
y^2 + \frac{2}{7}y = \left(y + \frac{1}{7}\right)^2 - \left(\frac{1}{7}\right)^2 = \left(y + \frac{1}{7}\right)^2 - \frac{1}{49}
\]

Sau khi thay thế, ta có:

\[
49\left( \left(y + \frac{1}{7}\right)^2 - \frac{1}{49} \right) = 49\left(y + \frac{1}{7}\right)^2 - 1
\]

Giờ, đưa chúng lại vào phương trình:

\[
(x - 2)^2 - 4 + 49\left(y + \frac{1}{7}\right)^2 - 1 + 5 = 0
\]

Rút gọn phương trình:

\[
(x - 2)^2 + 49\left(y + \frac{1}{7}\right)^2 = 4
\]

#### Nhận dạng

Phương trình vừa có dạng phương trình của elip:

\[
\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{\left(y + \frac{1}{7}\right)^2}{\frac{4}{49}} = 1
\]

Từ đây, ta nhận được rằng \(x\) và \(y\) nằm trên một elip có trung điểm tại \((2, -\frac{1}{7})\) với bán kính lớn trên trục \(x\) là 2 và nhỏ trên trục \(y\) là \(\frac{2}{7}\).

### Phương trình 2:

Giải phương trình thứ hai:

\[
16x^2 + 25y^2 + 13 = 20y + 24x
\]

Chúng ta đưa tất cả các hạng tử về một bên:

\[
16x^2 - 24x + 25y^2 - 20y + 13 = 0
\]

**Nhóm từ liên quan đến \(x\):**

\[
16x^2 - 24x = 16\left(x^2 - \frac{24}{16}x\right) = 16\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right)
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
x^2 - \frac{3}{2}x = \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}
\]

Khi đưa vào phương trình:

\[
16\left(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}\right) = 16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - 9
\]

**Nhóm từ liên quan đến \(y\):**

\[
25y^2 - 20y = 25\left(y^2 - \frac{20}{25}y\right) = 25\left(y^2 - \frac{4}{5}y\right)
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
y^2 - \frac{4}{5}y = \left(y - \frac{2}{5}\right)^2 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \left(y - \frac{2}{5}\right)^2 - \frac{4}{25}
\]

Khi thay vào phương trình:

\[
25\left(\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 - \frac{4}{25}\right) = 25\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 - 4
\]

Giờ ta gộp tất cả lại:

\[
16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - 9 + 25\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 - 4 + 13 = 0
\]

Rút gọn:

\[
16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + 25\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 = 0
\]

### Kết luận:

Từ cả hai phương trình, chúng ta tìm được các giá trị của \(x\) và \(y\) tại các vị trí trên.

1. Phương trình 1 cho ra elip, từ đó ta có thể tính cụ thể các giá trị \(x\) và \(y\).
2. Phương trình 2 cũng tạo ra một hình elip tương tự.

Các giá trị \( (x, y) \) cụ thể trong từng trường hợp có thể được tìm thấy bằng phép số cụ thể nếu làm chi tiết từng giá trị cho từng điểm trên elip. Tuy nhiên, chính xác nhất là chúng ta có các elip và sẽ tìm các giao điểm nếu có hoặc các giá trị cụ thể nằm trong khoảng cho phép của \(x\) và \(y\).