Để chứng minh rằng ba điểm \( N, D, C \) thẳng hàng và tam giác \( APQ \) là tam giác vuông cân, ta tiến hành như sau:

**Bước 1: Thiết lập tọa độ cho các điểm.**

Giả sử hình vuông \( ABCD \) có tọa độ như sau:
- \( A(0, a) \)
- \( B(0, 0) \)
- \( C(a, 0) \)
- \( D(a, a) \)

Điểm \( M \) nằm trên đường thẳng \( BC \) có tọa độ \( M(0, m) \) với \( 0 < m < a \).

**Bước 2: Xác định tọa độ các điểm \( N \), \( P \), \( Q \).**

- Ta vẽ hình vuông \( AMEN \) nên:
- \( N \) là điểm trên đường thẳng \( AC \) cho nên tọa độ của \( N \) sẽ là \( N(n_x, n_y) \) với \( n_x \) thuộc khoảng \([0, a]\) và \( n_y = a - \frac{a}{a}n_x \).

- Để tìm tọa độ của \( Q \) (giao điểm của tia \( AM \) cắt \( DC \)):
- Phương trình đường thẳng \( AM \):
- Độ dốc \( AM = \frac{m - a}{0 - 0} \) dẫn đến phương trình \( y - a = k(x - 0) \) (với \( k \) là hệ số góc)

- Phương trình đường thẳng \( DC \):
- Là đường thẳng ngang tại \( y = a \).

- Giao điểm \( Q \) sẽ có tọa độ \( Q(q_x, a) \), với \( q_x \) nằm trên đường thẳng này.

- Để tìm tọa độ của \( P \) (giao điểm tia \( NA \) với \( CB \)):
- Tương tự, có thể tìm ra phương trình đường thẳng \( NA \) và giao điểm với \( CB \).

**Bước 3: Chứng minh \( N, D, C \) thẳng hàng.**

Ta cần chứng minh rằng ba điểm \( N, D, C \) nằm trên cùng một đường thẳng. Ta xem xét hệ số góc của đường thẳng đi qua ba điểm này và kiểm tra xem nó có bằng nhau không.

- Nếu hai đoạn \( ND \) và \( DC \) có cùng một hệ số góc, thì ba điểm này sẽ thẳng hàng.

**Bước 4: Chứng minh tam giác \( APQ \) vuông cân.**

Để chứng minh tam giác \( APQ \) vuông cân tại \( I \) (trung điểm của \( PQ \)):
- Ta cần chỉ ra rằng \( AP \) vuông với \( AQ \) và \( AP = AQ \).

Sử dụng tính đối xứng và tọa độ của các điểm, dựa trên tọa độ đã xác định ở bước 2, ta có thể tính khoảng cách giữa \( A \) và các điểm còn lại để so sánh.

----

Tóm lại, qua các khái niệm về tọa độ, phương trình đường thẳng và tính toán khoảng cách, ta có thể chỉ ra rằng các điểm \( N, D, C \) nằm trên cùng một đường và tam giác \( APQ \) là tam giác vuông cân.