Để chứng minh rằng \( c = x^2 + 2x + 2 > 0 \) với mọi giá trị của \( x \), ta sẽ sử dụng phương pháp kiểm tra nghiệm của phương trình bậc hai.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức \( c \) là một đa thức bậc hai với hệ số a = 1, b = 2 và c = 2. Để xác định dấu của biểu thức này, ta cần tìm nghiệm của phương trình:

\[
x^2 + 2x + 2 = 0
\]

Sử dụng công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó, \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = 2 \). Ta tính:

\[
b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4
\]

Vì \( b^2 - 4ac < 0 \), phương trình \( x^2 + 2x + 2 = 0 \) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là biểu thức \( c \) không bằng 0 cho mọi giá trị của \( x \).

Tiếp theo, vì \( a = 1 > 0 \), nên đồ thị của hàm số bậc hai này mở lên, điều đó có nghĩa là \( c = x^2 + 2x + 2 \) sẽ luôn dương.

Để chứng minh cụ thể rằng \( c > 0 \), ta có thể tính giá trị của \( c \) tại một điểm bất kỳ; ví dụ:

Với \( x = 0 \):
\[
c(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2 > 0
\]

Và vì phương trình bậc hai không có nghiệm thực, ta có thể kết luận rằng \( c \) luôn dương cho mọi giá trị của \( x \).

Vậy chúng ta có thể kết luận rằng:

\[
x^2 + 2x + 2 > 0 \quad \text{với mọi } x.
\]

Chứng minh đã hoàn tất.