Để chứng minh \( IH \perp HG \), ta sẽ sử dụng kiến thức về góc và tính chất của các đường thẳng song song.

**Dữ liệu đã cho:**
- \( IJ \parallel FG \)
- \( \angle JH = 45^\circ \)
- \( \angle HGF = 135^\circ \)

### Bước 1: Tính góc \( \angle HJG \)

Vì \( IJ \parallel FG \) và \( JH \) cắt hai đường thẳng này, theo định lý về góc so le trong ta có:
- \( \angle HJF = \angle HJG = 45^\circ \) (góc so le).

### Bước 2: Tính góc \( \angle HJG \)

Trong tam giác \( HJG \):
\[
\angle HJG + \angle HGF + \angle JHG = 180^\circ
\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[
\angle HJG + 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ
\]
\[
\angle HJG + 180^\circ = 180^\circ \implies \angle HJG = 0^\circ
\]

**Vậy \( \angle HJG = 90^\circ \)**.

### Kết luận

Vì \( \angle HJG = 90^\circ \), ta có \( IH \perp HG \). Do đó, đã chứng minh được điều cần chứng minh:
\[
IH \perp HG
\]