Để giải hệ phương trình đã cho, ta có:

\[
\begin{cases}
x\sqrt{2} - y\sqrt{3} = 1 \quad (1) \\
x + y\sqrt{3} = \sqrt{2} \quad (2)
\end{cases}
\]

Bước 1: Giải phương trình (2) cho \( x \):

\[
x = \sqrt{2} - y\sqrt{3}
\]

Bước 2: Thay giá trị của \( x \) từ phương trình (2) vào phương trình (1):

\[
(\sqrt{2} - y\sqrt{3})\sqrt{2} - y\sqrt{3} = 1
\]

Mở rộng và giản lược:

\[
\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - y\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - y\sqrt{3} = 1
\]

\[
2 - y\sqrt{6} - y\sqrt{3} = 1
\]

Bước 3: Chuyển hằng số sang phía bên phải:

\[
2 - 1 = y\sqrt{6} + y\sqrt{3}
\]

\[
1 = y(\sqrt{6} + \sqrt{3})
\]

Bước 4: Tìm giá trị của \( y \):

\[
y = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}
\]

Để hợp lý hóa mẫu số, nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{6} - \sqrt{3}\):

\[
y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})}
\]

Tính mẫu số:

\[
(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3
\]

Do đó:

\[
y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}
\]

Bước 5: Tìm giá trị của \( x \):

Thay giá trị của \( y \) vào \( x = \sqrt{2} - y\sqrt{3} \):

\[
x = \sqrt{2} - \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}\right)\sqrt{3}
\]

\[
x = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{18} - 3}{3}
\]

\[
x = \sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2} - 3}{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = 1
\]

Bước 6: Kết quả:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
x = 1 \\
y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}
\end{cases}
\]

Hoặc viết tắt là:

\[
\left(x, y\right) = \left(1, \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}\right)
\]