Để chứng minh bất đẳng thức \( A = x^2 - 5x + 10 > 0 \) với mọi \( x \), chúng ta sẽ sử dụng định lý về giá trị cực tiểu của một hàm bậc hai.

**Bước 1: Xác định dạng của hàm bậc hai.**

Hàm \( A(x) = x^2 - 5x + 10 \) là một hàm bậc hai có dạng tổng quát \( ax^2 + bx + c \), với:
- \( a = 1 \),
- \( b = -5 \),
- \( c = 10 \).

**Bước 2: Kiểm tra hệ số a.**

Vì \( a = 1 > 0 \), nên đồ thị của hàm bậc hai này là một Parabol có mặt phẳng mở lên. Điều này cho thấy rằng hàm sẽ có giá trị tối thiểu tại một điểm nào đó.

**Bước 3: Tính giá trị cực tiểu.**

Giá trị x tại cực tiểu của hàm bậc hai được tính bằng công thức:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}.
\]

**Bước 4: Tính giá trị của hàm tại \( x = \frac{5}{2} \).**

Bây giờ ta tính \( A\left(\frac{5}{2}\right) \):
\[
A\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{2}\right) + 10.
\]
\[
= \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 10.
\]
Có thể viết \( \frac{25}{2} = \frac{50}{4} \) và \( 10 = \frac{40}{4} \). Vậy,
\[
A\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{40}{4} = \frac{25 - 50 + 40}{4} = \frac{15}{4}.
\]
Rõ ràng, \( \frac{15}{4} > 0 \).

**Bước 5: Kết luận.**

Vì \( A(x) \) là một hàm bậc hai có giá trị tối thiểu là \( \frac{15}{4} > 0 \) nên \( A(x) > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( x^2 - 5x + 10 > 0 \) với mọi \( x \).