Để khai triển biểu thức \((2x - \frac{1}{2}y)^3(2x - \frac{1}{2}y)^3\), ta có thể viết lại như sau:

\[
((2x - \frac{1}{2}y)^3)^2
\]

Bây giờ, ta sẽ khai triển \((2x - \frac{1}{2}y)^3\) trước. Sử dụng công thức khai triển nhị thức, ta có:

\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]

Trong trường hợp này, \(a = 2x\) và \(b = \frac{1}{2}y\). Áp dụng công thức, ta có:

\[
(2x - \frac{1}{2}y)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2\left(\frac{1}{2}y\right) + 3(2x)\left(\frac{1}{2}y\right)^2 - \left(\frac{1}{2}y\right)^3
\]

Tính từng hạng tử:

1. \((2x)^3 = 8x^3\)
2. \(3(2x)^2\left(\frac{1}{2}y\right) = 3 \cdot 4x^2 \cdot \frac{1}{2}y = 6x^2y\)
3. \(3(2x)\left(\frac{1}{2}y\right)^2 = 3(2x) \cdot \frac{1}{4}y^2 = \frac{3}{2}xy^2\)
4. \(\left(\frac{1}{2}y\right)^3 = \frac{1}{8}y^3\)

Kết hợp lại, ta có:

\[
(2x - \frac{1}{2}y)^3 = 8x^3 - 6x^2y + \frac{3}{2}xy^2 - \frac{1}{8}y^3
\]

Giờ đây, ta sẽ bình phương kết quả trên:

\[
\left(8x^3 - 6x^2y + \frac{3}{2}xy^2 - \frac{1}{8}y^3\right)^2
\]

Khi bình phương một đa thức, ta áp dụng công thức:

\[
(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
\]

Áp dụng vào đa thức trên, ta có:

- \(a = 8x^3\)
- \(b = -6x^2y\)
- \(c = \frac{3}{2}xy^2\)
- \(d = -\frac{1}{8}y^3\)

Tính từng hạng tử:

1. \(a^2 = (8x^3)^2 = 64x^6\)
2. \(b^2 = (-6x^2y)^2 = 36x^4y^2\)
3. \(c^2 = \left(\frac{3}{2}xy^2\right)^2 = \frac{9}{4}x^2y^4\)
4. \(d^2 = \left(-\frac{1}{8}y^3\right)^2 = \frac{1}{64}y^6\)

Tính các sản phẩm chéo (hệ số 2 không cần thiết áp dụng cho \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\), và \(d^2\):

1. \(ab = 8x^3(-6x^2y) = -48x^5y\)
2. \(ac = 8x^3\left(\frac{3}{2}xy^2\right) = 12x^4y^2\)
3. \(ad = 8x^3\left(-\frac{1}{8}y^3\right) = -x^3y^3\)
4. \(bc = (-6x^2y)\left(\frac{3}{2}xy^2\right) = -9x^3y^3\)
5. \(bd = (-6x^2y)\left(-\frac{1}{8}y^3\right) = \frac{3}{4}x^2y^4\)
6. \(cd = \left(\frac{3}{2}xy^2\right)\left(-\frac{1}{8}y^3\right) = -\frac{3}{16}xy^5\)

Sau đó, cộng tất cả lại:

\[
= 64x^6 + 36x^4y^2 + \frac{9}{4}x^2y^4 + \frac{1}{64}y^6 - 48x^5y + 24x^4y^2 - 10x^3y^3 + \frac{3}{4}x^2y^4 - \frac{3}{16}xy^5
\]

Kết quả là:

\[
= 64x^6 - 48x^5y + (36 + 24)x^4y^2 + \left(\frac{9}{4} + \frac{3}{4}\right)x^2y^4 - 10x^3y^3 - \frac{3}{16}xy^5 + \frac{1}{64}y^6
\]

Tối giản lại biểu thức:

\[
= 64x^6 - 48x^5y + 60x^4y^2 - 10x^3y^3 + 3xy^4 - \frac{3}{16}xy^5 + \frac{1}{64}y^6
\]

Đó là kết quả khai triển của biểu thức đã cho.