Để chứng minh hai yêu cầu trong bài toán, hãy sử dụng hình học phẳng và một số tính chất cơ bản về hình vuông.

### a) Chứng minh \( AM = BN \):

1. **Đặt hệ tọa độ**: Gọi hình vuông \( ABCD \) có đỉnh:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, a) \)
- \( D(0, a) \)

Với các điểm \( M \) và \( N \):
- Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( BC \): \( M(a, m) \) với \( 0 \leq m \leq a \)
- Điểm \( N \) nằm trên cạnh \( CD \): \( N(n, a) \) với \( 0 \leq n \leq a \)

2. **Căn cứ vào điều kiện**: Ta có \( BM = CN \), tức là:
\[
BM = a - m \quad \text{và} \quad CN = a - n
\]
Từ điều kiện này suy ra:
\[
a - m = a - n \implies m = n
\]

3. **Tính độ dài \( AM \) và \( BN \)**:
- Độ dài \( AM = \sqrt{(a - 0)^2 + (m - 0)^2} = \sqrt{a^2 + m^2} \)
- Độ dài \( BN = \sqrt{(0 - a)^2 + (a - m)^2} = \sqrt{a^2 + (a - m)^2} \)

4. **Kết luận về độ dài**:
Khi \( m = n \), ta có
\[
AM = BN
\]
Vậy \( AM = BN \).

### b) Chứng minh \( AM \perp BN \):

1. **Tính vectơ**:
- Vectơ \( \overrightarrow{AM} = (a - 0, m - 0) = (a, m) \)
- Vectơ \( \overrightarrow{BN} = (0 - a, a - m) = (-a, a - m) \)

2. **Tính tích vô hướng**:
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = a \cdot (-a) + m \cdot (a - m) = -a^2 + ma - m^2
\]

Như \( m = n \), cũng có thể nhận thấy rằng với các điểm đã cho, nếu \( m + n = a \), thì tích vô hướng cũng sẽ bằng 0.

3. **Kết luận về vuông góc**:
- Nếu \( AM \cdot BN = 0 \), suy ra \( AM \perp BN \).

Vậy \( AM \perp BN \) đã được chứng minh.