Gọi số có ba chữ số là \(abc\), trong đó:
- \(a\) là chữ số hàng trăm,
- \(b\) là chữ số hàng chục,
- \(c\) là chữ số hàng đơn vị.

Theo đề bài, chúng ta có các điều kiện sau:
1. \(b = 2a\) (chữ số hàng chục gấp 2 lần chữ số hàng trăm)
2. \(c = 2b\) (chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục)

Từ điều kiện 1, \(b = 2a\), ta có:
- \(a\) có thể nhận các giá trị từ 1 đến 4 (nếu \(a\) lớn hơn 4, thì \(b\) sẽ không phải là một chữ số hợp lệ vì chữ số không vượt quá 9).

Từ đó, ta tính giá trị của \(b\) và kiểm tra các trường hợp:

- Nếu \(a = 1\):
- \(b = 2 \cdot 1 = 2\)
- \(c = 2b = 2 \cdot 2 = 4\) → Số là 124.

- Nếu \(a = 2\):
- \(b = 2 \cdot 2 = 4\)
- \(c = 2b = 2 \cdot 4 = 8\) → Số là 248.

- Nếu \(a = 3\):
- \(b = 2 \cdot 3 = 6\)
- \(c = 2b = 2 \cdot 6 = 12\) → Không hợp lệ (c không phải là một chữ số).

- Nếu \(a = 4\):
- \(b = 2 \cdot 4 = 8\)
- \(c = 2b = 2 \cdot 8 = 16\) → Không hợp lệ (c không phải là một chữ số).

Kết luận, tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện trên là:
\[
\{124, 248\}
\]