Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các góc.

### a) Chứng minh: ΔMBC = ΔMAN:

1. **Đầu tiên, xác định các yếu tố của hai tam giác:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) → \( AM = MB \).
- \( AN \parallel BC \) (theo giả thiết) → góc \( MAN = MBC \) (góc đồng vị).
- Cả hai tam giác chia sẻ cạnh \( MB \) và \( AN = BC \) (do vuông góc).

2. **Sử dụng tiêu chí đồng dạng:**
- Dựa vào hai cặp góc bằng nhau và một cạnh chung, ta có:
\[
\triangle MBC \cong \triangle MAN
\]

### b) Chứng minh: BN = AC:

1. **Dựa vào tính chất của các tam giác đã chứng minh:**
- Từ sự đồng nhất của các tam giác \( ΔMBC \) và \( ΔMAN \):
- Ta có \( BN = AC \) (cạnh tương ứng trong các tam giác đồng dạng).

2. **Kết quả:**
- Như vậy, \( BN = AC \) theo định lý về cạnh tương ứng của tam giác đồng dạng.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai mệnh đề trong bài toán.