Để chứng minh rằng \((n+18) \cdot (n+2013)\) chia hết cho 2 với \(n\) thuộc \(\mathbb{N}\), chúng ta sẽ xem xét điều kiện chia hết cho 2.

Một số chia hết cho 2 nếu ít nhất một trong hai yếu tố của nó là số chẵn. Ta có hai trường hợp:

1. **Trường hợp \(n\) là số chẵn:**

Nếu \(n\) là số chẵn, thì \(n + 18\) cũng là số chẵn vì tổng của hai số chẵn vẫn là số chẵn. Khi đó, sản phẩm \((n+18) \cdot (n+2013)\) sẽ là một số chẵn (số chẵn nhân với số bất kỳ thì kết quả vẫn chẵn).

2. **Trường hợp \(n\) là số lẻ:**

Nếu \(n\) là số lẻ, thì \(n + 2013\) cũng sẽ là số chẵn. Điều này là do \(2013\) là số lẻ (lẻ + lẻ = chẵn). Khi đó, sản phẩm \((n+18) \cdot (n+2013)\) cũng sẽ là số chẵn (số bất kỳ nhân với số chẵn thì kết quả cũng chẵn).

Tóm lại, trong cả hai trường hợp, \((n + 18) \cdot (n + 2013)\) đều chia hết cho 2.

Do đó, ta có thể kết luận rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}\), \((n+18) \cdot (n+2013)\) chia hết cho \(2\).