Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức \( A = |x| - 4(2 - |x - 4|) \), ta có thể phân tích từng trường hợp dựa vào giá trị của \( x \).

### Bước 1: Phân tích biểu thức \( A \)

Biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối \( |x| \) và \( |x - 4| \), nên cần xét các trường hợp:

1. **Khi \( x \geq 4 \)**:
- \( |x| = x \)
- \( |x - 4| = x - 4 \)
- Thay vào \( A \):
\[
A = x - 4(2 - (x - 4)) = x - 4(2 - x + 4) = x - 4(6 - x) = x - 24 + 4x = 5x - 24
\]

2. **Khi \( 0 \leq x < 4 \)**:
- \( |x| = x \)
- \( |x - 4| = 4 - x \)
- Thay vào \( A \):
\[
A = x - 4(2 - (4 - x)) = x - 4(2 - 4 + x) = x - 4(-2 + x) = x + 8 - 4x = -3x + 8
\]

3. **Khi \( x < 0 \)**:
- \( |x| = -x \)
- \( |x - 4| = 4 - x \)
- Thay vào \( A \):
\[
A = -x - 4(2 - (4 - x)) = -x - 4(2 + x - 4) = -x - 4(x - 2) = -x - 4x + 8 = -5x + 8
\]

### Bước 2: Tính GTLN cho từng trường hợp

1. **Trường hợp 1: \( x \geq 4 \)**:
Chức năng \( 5x - 24\) là hàm số tăng, do đó GTLN sẽ đạt được tại bất kỳ điểm nào trong khoảng này, đặc biệt là tại \( x = 4 \):
\[
A(4) = 5(4) - 24 = 20 - 24 = -4
\]

2. **Trường hợp 2: \( 0 \leq x < 4 \)**:
Hàm số \( -3x + 8\) là hàm số giảm, do đó GTLN xảy ra tại \( x = 0 \):
\[
A(0) = -3(0) + 8 = 8
\]

3. **Trường hợp 3: \( x < 0 \)**:
Hàm số \( -5x + 8\) là hàm số tăng, do đó GTLN sẽ đạt được tại \( x = 0\) (mặc dù không nằm trong khoảng này):
\[
A(0) = -5(0) + 8 = 8
\]

### Kết luận

GTLN của \( A \) là \( 8 \), đạt được tại \( x = 0 \).