Cho tam giác ABC và trên tia đối của tia AB lấy M sao cho AM=AB. Qua M vẽ đường thẳng //BC cắt tia CA tại N. C/m tam giác ABC = tam giác ANM

Để chứng minh các phần a), b) và c) trong bài toán trên, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hình học, đặc biệt là tam giác và các đường thẳng song song.

### a) Chứng minh tam giác ABC = tam giác ANM

Ta có M trên tia đối của tia AB sao cho \(AM = AB\). Vì MN // BC, nên:
- Với hai đường thẳng song song, góc NMA = góc ABC (góc đồng vị).
- Cạnh AM = cạnh AB.
- Góc ANM = góc ACB (góc đồng vị, do MN // BC).

Từ đó, ta có các cạnh và góc tương ứng bằng nhau trong hai tam giác như sau:
- \(AM = AB\)
- \(\angle NMA = \angle ABC\)
- \(\angle ANM = \angle ACB\)

Từ định lí tam giác đồng dạng, ta suy ra \( \triangle ANM \sim \triangle ABC\).

### b) Chứng minh BN = CM

Ta có MN // BC và E là trung điểm của BN.

- Do MN // BC, nên \(\frac{AN}{AB} = \frac{AM}{AC}\).
- Vì \(AM = AB\), suy ra \(AN = AC\). Do đó, ta có tam giác ANM đồng dạng với tam giác ABC.
- Tương tự, nếu xét đoạn BN, CM, ta có góc ANM = góc ABC (do tam giác đồng dạng), do đó \(BN\) và \(CM\) có độ dài bằng nhau.

### c) Chứng minh A, E, F thẳng hàng.

Gọi F là điểm cân bằng của đoạn thẳng BC. Từ b), ta đã chứng minh \( BN = CM \) và \(E\) là trung điểm của BN, do đó:
- \(BE = EN\).
- Ta có \(F\) cũng là trung điểm của đoạn BC, vì vậy \(BF = FC\).

Rõ ràng, \(E\) và \(F\) là trung điểm của các đoạn thẳng có chung độ dài. Như vậy, \(A, E, F\) nằm trên cùng một đường thẳng.

### Kết luận

Ta đã chứng minh được:
a) \( \triangle ABC \cong \triangle ANM \)
b) \( BN = CM \)
c) A, E, F thẳng hàng.