Đầu tiên, ta cần xác định dãy số \( U_n \) từ công thức đã cho:

\[
U_n = V_n - V_{n-1} \quad \text{với} \quad V_n = (2n + 1)^2
\]

Bây giờ, ta cần tính \( V_n \) và \( V_{n-1} \):

1. Tính \( V_n \):
\[
V_n = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
\]

2. Tính \( V_{n-1} \):
\[
V_{n-1} = (2(n-1) + 1)^2 = (2n - 2 + 1)^2 = (2n - 1)^2 = 4n^2 - 4n + 1
\]

Bây giờ, thay vào công thức để tính \( U_n \):

\[
U_n = V_n - V_{n-1} = (4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1)
\]

Rút gọn:

\[
U_n = 4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 + 4n - 1 = 8n
\]

Vậy ta có:

\[
U_n = 8n
\]

Dãy số \( U_n \) là cấp số cộng với công sai \( d = U_{n+1} - U_n = 8(n + 1) - 8n = 8 \).

### Tính \( U_{10} \) và \( S_{12} \)

- Tính \( U_{10} \):
\[
U_{10} = 8 \times 10 = 80
\]

- Tính \( S_{12} \) (tổng 12 số hạng đầu tiên):
Tổng của cấp số cộng được tính bằng công thức:
\[
S_n = \frac{n}{2} \times (a + l)
\]
Trong đó \( n \) là số hạng, \( a \) là số hạng đầu tiên và \( l \) là số hạng cuối.

Với \( n = 12 \):
- \( a = U_1 = 8 \times 1 = 8 \)
- \( l = U_{12} = 8 \times 12 = 96 \)

Áp dụng vào công thức:

\[
S_{12} = \frac{12}{2} \times (8 + 96) = 6 \times 104 = 624
\]

**Kết luận:**
- \( U_{10} = 80 \)
- \( S_{12} = 624 \)