Khảo sát hàm số: y = x^3 - 4x^2 + 6x - 2

Để khảo sát hàm số \( y = x^3 - 4x^2 + 6x - 2 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Tính đạo hàm
Tính đạo hàm bậc nhất \( y' \) để xác định các điểm cực trị:
\[
y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 8x + 6
\]

### 2. Tìm điểm cực trị
Tìm nghiệm của phương trình \( y' = 0 \):
\[
3x^2 - 8x + 6 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}
\]
\[
= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 72}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{8 \pm 2i\sqrt{2}}{6} = \frac{4 \pm i\sqrt{2}}{3}
\]

Do phương trình này có nghiệm phức, nên hàm số không có điểm cực trị thực.

### 3. Tính đạo hàm bậc hai
Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \):
\[
y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 8
\]

### 4. Tìm tính chất đơn điệu
Giải phương trình \( y'' = 0 \):
\[
6x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]
- Với \( x < \frac{4}{3} \): \( y'' < 0 \) (hàm số giảm)
- Với \( x > \frac{4}{3} \): \( y'' > 0 \) (hàm số tăng)

Hàm số có tính chất:
- Giảm trên khoảng \( (-\infty, \frac{4}{3}) \)
- Tăng trên khoảng \( (\frac{4}{3}, +\infty) \)

### 5. Xét hành vi tại các cực trị lớn và nhỏ
- Khi \( x \to -\infty \): \( y \to -\infty \) (do bậc 3)
- Khi \( x \to +\infty \): \( y \to +\infty \)

### 6. Tìm giá trị của hàm tại \( x = \frac{4}{3} \)
Tính giá trị của hàm tại điểm \( x = \frac{4}{3} \):
\[
y\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 4\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 6\left(\frac{4}{3}\right) - 2
\]
\[
= \frac{64}{27} - 4 \cdot \frac{16}{9} + 8 - 2
\]
\[
= \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{216}{27} - \frac{54}{27}
\]
\[
= \frac{64 - 192 + 216 - 54}{27} = \frac{34}{27}
\]

### 7. Kết luận
- Hàm số \( y = x^3 - 4x^2 + 6x - 2 \) không có cực trị thực.
- Hàm số có cực tiểu tại \( x = \frac{4}{3} \) với giá trị \( y = \frac{34}{27} \).
- Hàm số giảm trên \( (-\infty, \frac{4}{3}) \) và tăng trên \( (\frac{4}{3}, +\infty) \).

Với các kết quả này, bạn có thể vẽ đồ thị của hàm số để hiểu rõ hơn về hành vi của nó.