Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu với biểu thức sau:

\[
\frac{12x}{x^2 + 4x + 2} - \frac{3x}{x^2 + 4x + 2} = 1
\]

Bước đầu tiên là gộp các phân số lại với nhau. Cả hai phân số đều có cùng mẫu số, vì vậy chúng ta có thể ghép chung lại:

\[
\frac{12x - 3x}{x^2 + 4x + 2} = 1
\]

Giảm biểu thức trên:

\[
\frac{9x}{x^2 + 4x + 2} = 1
\]

Bây giờ chúng ta nhân chéo để loại bỏ mẫu số:

\[
9x = x^2 + 4x + 2
\]

Chuyển tất cả các phần về một phía để được phương trình bậc hai:

\[
x^2 + 4x + 2 - 9x = 0
\]

Điều này trở thành:

\[
x^2 - 5x + 2 = 0
\]

Bây giờ để giải phương trình bậc hai này, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 1, b = -5, c = 2 \):

\[
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán giá trị trong dấu căn:

\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2}
\]
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}
\]

Đây là các nghiệm của phương trình đã cho.