Trong tam giác ABC cân tại A (với góc A = 50°), chúng ta có:

1. **Chiều dài các cạnh**: Do AB = AC (tính chất của tam giác cân), nên \( \angle B = \angle C \). Ta có:
\[
\angle B + \angle C + \angle A = 180^\circ
\]
Do đó:
\[
2\angle B + 50^\circ = 180^\circ \implies 2\angle B = 130^\circ \implies \angle B = 65^\circ
\]
Vậy:
\[
\angle C = 65^\circ
\]

2. **Đường tròn đường kính AB**: Theo định lý đường tròn, mọi góc nội tiếp tạo thành bởi một cung có điểm ở ngoài đường tròn sẽ bằng một nửa số đo của cung mà nó cắt.

3. **Tìm vị trí M**: Đường tròn đường kính AB cắt BC tại M (với M khác B). Từ định lý trên, kết quả này cho thấy:
\[
\angle MAB = \angle MBP
\]
với P là điểm trên đường tròn. Ta có:
\[
\angle MAB = \frac{1}{2} \text{số đo cung MB}
\]
Trong trường hợp này, chúng ta sẽ cần tính số đo cung AM, khi M là điểm cắt của đường tròn và BC.

4. **Cung AM**: Do M nằm trên đường tròn đường kính AB, góc AMB là góc vuông (90°), từ đó suy ra:
\[
MAB = \angle CAB = 50^\circ
\]

Vậy cung AM đo bằng số đo của góc CAB nhân với 2:
\[
\text{số đo cung AM} = 2 \cdot \angle CAB = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ
\]

Tóm lại:
- M là trung điểm BC (đúng);
- Số đo cung nhỏ AM là 100°.