Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ áp dụng các quy tắc chia hết và định lý số học modulo.

### a) Chứng minh rằng \( 2027^{2026} - 2023^{101} \) chia hết cho 10

Ta sẽ tính \( 2027^{2026} \mod 10 \) và \( 2023^{101} \mod 10 \).

- Tính \( 2027 \mod 10 \):
\[
2027 \equiv 7 \mod 10
\]
Vì vậy, \( 2027^{2026} \mod 10 \):
\[
2027^{2026} \equiv 7^{2026} \mod 10
\]
Xét chu kỳ của \( 7^n \mod 10 \):
- \( 7^1 \equiv 7 \)
- \( 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \)
- \( 7^3 \equiv 63 \equiv 3 \)
- \( 7^4 \equiv 21 \equiv 1 \)

Chu kỳ của \( 7^n \mod 10 \) là 4. Ta có:
\[
2026 \mod 4 \equiv 2 \quad \text{(vì } 2026 = 4 \cdot 506 + 2\text{)}
\]
Do đó:
\[
7^{2026} \equiv 7^2 \equiv 9 \mod 10
\]

- Tính \( 2023 \mod 10 \):
\[
2023 \equiv 3 \mod 10
\]
Vậy \( 2023^{101} \mod 10 \):
\[
2023^{101} \equiv 3^{101} \mod 10
\]
Xét chu kỳ của \( 3^n \mod 10 \):
- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 9 \)
- \( 3^3 \equiv 27 \equiv 7 \)
- \( 3^4 \equiv 21 \equiv 1 \)

Chu kỳ của \( 3^n \mod 10 \) cũng là 4. Ta có:
\[
101 \mod 4 \equiv 1 \quad \text{(vì } 101 = 4 \cdot 25 + 1\text{)}
\]
Do đó:
\[
3^{101} \equiv 3^1 \equiv 3 \mod 10
\]

Kết hợp lại:
\[
2027^{2026} - 2023^{101} \equiv 9 - 3 \equiv 6 \mod 10
\]
Hàm này không chia hết cho 10. Do đó câu a) không đúng như yêu cầu.

### b) Chứng minh rằng \( 34^{2025} - 4 \) chia hết cho 10

Tính \( 34^{2025} \mod 10 \):
\[
34 \equiv 4 \mod 10
\]
Vậy \( 34^{2025} \mod 10 \):
\[
34^{2025} \equiv 4^{2025} \mod 10
\]

Xét chu kỳ của \( 4^n \mod 10 \):
- \( 4^1 \equiv 4 \)
- \( 4^2 \equiv 16 \equiv 6 \)
- \( 4^3 \equiv 64 \equiv 4 \)
- \( 4^4 \equiv 256 \equiv 6 \)

Chu kỳ của \( 4^n \mod 10 \) là 2. Ta có:
\[
2025 \mod 2 \equiv 1
\]
Do đó:
\[
4^{2025} \equiv 4^1 \equiv 4 \mod 10
\]

Kết hợp lại:
\[
34^{2025} - 4 \equiv 4 - 4 \equiv 0 \mod 10
\]
Vậy \( 34^{2025} - 4 \) chia hết cho 10.

### c) Chứng minh rằng \( 38^{101} + 2 \) chia hết cho 5

Tính \( 38 \mod 5 \):
\[
38 \equiv 3 \mod 5
\]
Vậy \( 38^{101} \mod 5 \):
\[
38^{101} \equiv 3^{101} \mod 5
\]

Xét chu kỳ của \( 3^n \mod 5 \):
- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \)
- \( 3^3 \equiv 12 \equiv 2 \)
- \( 3^4 \equiv 6 \equiv 1 \)

Chu kỳ của \( 3^n \mod 5 \) là 4. Ta có:
\[
101 \mod 4 \equiv 1 \quad \text{(vì } 101 = 4 \cdot 25 + 1\text{)}
\]
Do đó:
\[
3^{101} \equiv 3^1 \equiv 3 \mod 5
\]

Kết hợp lại:
\[
38^{101} + 2 \equiv 3 + 2 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5
\]
Vậy \( 38^{101} + 2 \) chia hết cho 5.

Tổng kết:
- a) không chia hết cho 10
- b) chia hết cho 10
- c) chia hết cho 5