Để chứng minh tứ giác \( ADFE \) là hình bình hành, chúng ta sẽ chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.

1. **Tính chất các tam giác đều**:
- \( \triangle ABD \) là tam giác đều, do đó \( AB = AD = h \) (độ dài một cạnh của tam giác đều).
- \( \triangle ACE \) là tam giác đều, do đó \( AC = AE = k \) (độ dài một cạnh của tam giác đều).
- \( \triangle FBC \) là tam giác đều, do đó \( FB = FC = m \) (độ dài một cạnh của tam giác đều).

2. **Xét vị trí các điểm**:
- Điểm \( D \) nằm trên một đường thẳng tạo thành với cạnh \( AB \) một góc 60 độ, và với chiều dài \( AD = AB \).
- Tương tự, điểm \( E \) cũng nằm trên một đường thẳng tạo thành với cạnh \( AC \) một góc 60 độ, và với chiều dài \( AE = AC \).
- Điểm \( F \) nằm trên đường thẳng qua \( B \) và \( C \) cũng theo quy tắc tam giác đều.

3. **Chứng minh tứ giác ADFE là hình bình hành**:
- Xét đoạn thẳng \( AD \) và đoạn thẳng \( EF \):
1. Tính chất tam giác đều khiến cho \( DA \) và \( EF \) cùng có chiều dài \( h \) (tin tưởng vào các đối xứng của tam giác).
2. Vì \( A \) và \( F \) thuộc cùng một nửa mặt phẳng qua \( BC \), nên \( EF \) và \( AD \) đều có cùng hướng (cùng nằm trên một đường thẳng khi nhìn từ điểm \( A \)).

- Xét đoạn thẳng \( DF \) và đoạn thẳng \( AE \):
1. Bằng lý luận tương tự, ta thấy rằng \( DF \) và \( AE \) cùng có chiều dài \( m \).
2. Do đó, chiều dài và vị trí của các điểm này cho chúng ta thấy rằng \( AE \parallel DF \).

4. **Kết luận**:
- Từ các thuộc tính và chiều dài của các đoạn thẳng \( AD \), \( EF \) và tương ứng với \( AE \), \( DF \), chúng ta có \( AD \parallel EF \) và \( AE \parallel DF \).
- Vậy, tứ giác \( ADFE \) là hình bình hành.

Do đó, ta đã chứng minh rằng tứ giác \( ADFE \) là hình bình hành.