Để chứng minh các phần của bài toán trên, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một.

### Chứng minh a: góc BAK = góc BKA

1. **Góc BAK và BKA**:
Ta có:
- Góc BAC (góc tổng hợp) = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A),
- Góc B = 60 độ ⇒ Góc C = 30 độ.

2. **Đường phân giác AK**:
Đường phân giác của góc HAC chia góc HAC thành hai phần bằng nhau. Do đó, ta có:
\[
\angle BAK + \angle KAC = \angle HAC
\]

3. **Tính góc HAC**:
Có:
\[
\angle HAC = \angle B + \angle C = 60° + 30° = 90°
\]

4. **Tính các góc**:
Từ đó, ta có:
\[
\angle BAK + \angle KAC = 90°
\]

Theo định nghĩa góc, ta có:
\[
\angle KAB + \angle AKB = 90°
\]

5. Rõ ràng là:
\[
\angle BAK + \angle BKA = 90°
\]
và góc BAK là góc phụ của góc BKA, điều này chứng tỏ rằng:
\[
\angle BAK = \angle BKA
\]

### Chứng minh b: tam giác AEK = tam giác KHA

1. **Tính các cạnh và góc**:
- \(\angle AEK = \angle KHA\) (cùng bằng góc tạo bởi đường cao HA và cạnh AC)
- \(\angle EAK = \angle HKA\) (cùng một góc tạo bởi AK)

2. **Hai tam giác AEK và KHA**:
- Cạnh AE = cạnh KH (do KE // AC, và AC // AE)
- Do đó, theo tiêu chí góc - gốc - cạnh, ta có:
\[
\triangle AEK \cong \triangle KHA
\]

### Chứng minh c: BI là tia phân giác của góc ABK

1. **Tính các góc**:
- Chúng ta đã chứng minh rằng \(\angle BAK = \angle BKA\)

2. **Áp dụng định nghĩa tia phân giác**:
Tia BI phân chia góc ABK thành hai góc bằng nhau, do đó BI là tia phân giác.

### Chứng minh d: KD > DC

1. **Chứng minh tương quan độ dài**:
Từ hình vẽ ta có:
- Do KE // AC và KE cắt KH tại I → I là điểm trên đoạn AC, đồng thời \(\triangle AEK\) và \(\triangle KHA\) là đồng dạng.
- Do đó, khi K là một điểm nằm giữa A và H, thì:
\[
KD = KA \cdot \frac{AC}{KH} \text{ và } DC < AC
\]
=> suy ra \(KD > DC\).

Kết hợp tất cả các phần trên, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.