Để giải bài toán, ta sẽ lập hệ phương trình dựa trên thông tin trong đề bài.

Gọi:
- \( x \): số lượng sản phẩm do xí nghiệp thứ nhất sản xuất trong tháng thứ nhất.
- \( y \): số lượng sản phẩm do xí nghiệp thứ hai sản xuất trong tháng thứ nhất.

Từ thông tin trong đề, ta có các phương trình:

1. Trong tháng thứ nhất:
\[
x + y = 1000
\]

2. Trong tháng thứ hai, xí nghiệp thứ nhất có tỷ lệ vượt mức 20%, tức là:
\[
x + 0.2x = 1.2x
\]
Xí nghiệp thứ hai có tỷ lệ vượt mức 15%, nên:
\[
y + 0.15y = 1.15y
\]
Tổng sản lượng trong tháng thứ hai là:
\[
1.2x + 1.15y = 1170
\]

Ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 1000 \\
1.2x + 1.15y = 1170
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[
y = 1000 - x
\]

2. Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[
1.2x + 1.15(1000 - x) = 1170
\]
Giải sẽ được:
\[
1.2x + 1150 - 1.15x = 1170
\]
\[
0.05x + 1150 = 1170
\]
\[
0.05x = 20
\]
\[
x = 400
\]

3. Thay \( x \) vào phương trình đã lập để tìm \( y \):
\[
y = 1000 - 400 = 600
\]

Vậy số lượng sản phẩm do xí nghiệp thứ nhất sản xuất trong tháng thứ nhất là 400, và số lượng sản phẩm do xí nghiệp thứ hai sản xuất là 600.

### Kết luận
- **Tháng thứ nhất, xí nghiệp thứ nhất sản xuất được 400 sản phẩm**.
- **Tháng thứ nhất, xí nghiệp thứ hai sản xuất được 600 sản phẩm**.