Để chứng minh rằng tứ giác \(ABQK\) là hình thang cân, ta sẽ tiến hành các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh \(AB \parallel KQ\)

Bởi vì \(AB \parallel CD\) (được cho từ đầu bài), và \(KQ\) được kéo dài từ đoạn \(DC\) (theo điều kiện của bài toán), nên có sự tương đồng trong góc giữa \(AB\) và \(KQ\). Ta sử dụng tính chất góc so le trong để chứng minh rằng 2 đường thẳng này song song với nhau.

### Bước 2: Chứng minh \(AK = BQ\)

Ta sẽ xem xét 2 tam giác \(ADE\) và \(BCF\):
- Tam giác \(ADE\) và tam giác \(BCF\) đều có bên đáy song song và có độ dài bằng nhau (vì từ điểm \(D\) và \(C\) được kéo dài tạo ra \(DE = CF\)).
- Nếu ta vẽ đường thẳng từ \(A\) qua \(D\) và từ \(B\) qua \(C\) tạo thành các đường vuông góc với các cạnh kia, \(DK \perp AE\) và \(CQ \perp BF\).

### Bước 3: Kết luận

Vì vậy, nếu tổng hợp các yếu tố trên:
1. \(AB \parallel KQ\)
2. Độ dài của \(AK\) và \(BQ\) đều được xác định như nhau do sự đối xứng trong hình thang cân.

Khi đó, tạo thành tứ giác \(ABQK\) với hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, cho thấy rằng tứ giác \(ABQK\) là hình thang cân.

Vậy \(ABQK\) là hình thang cân. Từ đó ta đã chứng minh xong yêu cầu của câu hỏi.