Để chứng minh các tính chất của tam giác và tứ giác đã nêu, ta sẽ làm từng phần một.

1) **Chứng minh tam giác APQ cân tại A:**
- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên \( AB = AC \).
- Theo giả thiết, ta có \( AP = AQ \).
- Xét hai tam giác \( \triangle APB \) và \( \triangle AQC \):
- Có \( AP = AQ \) (theo giả thiết)
- Có \( AB = AC \) (vì tam giác ABC là tam giác cân)
- Góc A là chung (góc APB và góc AQC)
- Do đó, theo định lý đồng dạng (định lý cạnh - cạnh - góc), ta có \( \triangle APB \cong \triangle AQC \).
- Suy ra \( \angle APB = \angle AQC \) và \( AQ = AP \)
- Vậy \( \triangle APQ \) là tam giác cân tại A.

2) **Chứng minh \( PQ \parallel BC \):**
- Bởi vì \( \triangle ABC \) cân tại A, góc \( \angle ABC = \angle ACB \).
- Từ \( AP = AQ \) (góc tại A) và \( \angle APB = \angle AQC \), ta có hai góc tương ứng trong các tam giác tạo thành là bằng nhau.
- Theo định lý đồng dạng, nếu \( PQ \) cắt \( AB \) tại \( P \) và \( AC \) tại \( Q \) thì các cặp góc đối bằng nhau cho thấy rằng \( PQ \) song song với \( BC \).
- Do đó, ta suy ra \( PQ \parallel BC \).

3) **Chứng minh tứ giác BCQP là hình thang cân:**
- Ta có \( PQ \parallel BC \) (khẳng định vừa chứng minh).
- Do PQ song song với BC, ta có các cặp góc so le bằng nhau. Cụ thể:
- \( \angle PBQ = \angle QBC \) (góc so le trong)
- \( \angle QAP = \angle ACP \) (góc so le trong)
- Ta thấy \( PB \) và \( QC \) là các đường chéo cắt nhau tại điểm A, và các báo cáo trên chứng minh rằng góc ở các đỉnh bên trong của tứ giác BCQP cũng bằng nhau.
- Do đó, BCQP có hai cạnh đối song song và hai góc bên đối bằng nhau, suy ra nó là hình thang cân.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
1. Tam giác APQ cân tại A.
2. PQ song song với BC.
3. Tứ giác BCQP là hình thang cân.