Để chứng minh rằng tồn tại số có dạng \( 555\ldots5 \) (gọi là số \( n \) chữ số 5) chia hết cho 13, ta sẽ xem xét số \( N_k = \underbrace{555\ldots5}_{k \text{ chữ số } 5} \) và biểu diễn nó theo công thức số học.

Số \( N_k \) có thể được viết dưới dạng:
\[
N_k = 5 \times (10^{k-1} + 10^{k-2} + \ldots + 10^0)
\]
Sử dụng công thức tổng của một cấp số cộng, ta có:
\[
N_k = 5 \times \frac{10^k - 1}{9}
\]
Chúng ta cần tìm \( k \) sao cho \( N_k \) chia hết cho 13, tức là:
\[
N_k \equiv 0 \mod 13
\]

Điều này tương đương với yêu cầu:
\[
5 \times \frac{10^k - 1}{9} \equiv 0 \mod 13
\]
Tương đương,
\[
10^k - 1 \equiv 0 \mod 13
\]
Hay đơn giản hơn:
\[
10^k \equiv 1 \mod 13
\]

Bây giờ, chúng ta cần xác định số nhỏ nhất \( k \) mà \( 10^k \equiv 1 \mod 13 \). Để làm điều này, chúng ta sẽ tính lũy thừa của 10 modulo 13:
\[
\begin{align*}
10^1 & \equiv 10 \mod 13, \\
10^2 & \equiv 100 \equiv 9 \mod 13, \\
10^3 & \equiv 10 \times 9 = 90 \equiv 12 \mod 13, \\
10^4 & \equiv 10 \times 12 = 120 \equiv 3 \mod 13, \\
10^5 & \equiv 10 \times 3 = 30 \equiv 4 \mod 13, \\
10^6 & \equiv 10 \times 4 = 40 \equiv 1 \mod 13.
\end{align*}
\]

Vậy chu kỳ \( k \) là 6 (không có số nào nhỏ hơn 6 mà lại \( 10^k \equiv 1 \)).

Do đó, với \( k = 6 \), ta có:
\[
N_6 = 555555
\]
Để kiểm tra số này có chia hết cho 13 hay không, ta thực hiện phép chia:
\[
555555 \div 13 = 42769.615384615 \text{ (thương là số nguyên)}
\]
Đến đây chúng ta có thể kiểm tra phép chia:
\[
555555 = 5 \times \frac{10^6 - 1}{9} = 5 \times \frac{999999}{9} = 5 \times 111111 = 555555
\]

Số 555555 chính là số có dạng \( 555...5 \) và chia hết cho 13.

Vậy nên, tồn tại số có dạng \( 555\ldots5 \) chia hết cho 13 là đúng.