Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) và đường trung tuyến \( AM \). Theo đề bài, ta có điểm \( D \) nằm trên tia đối của tia \( MA \) sao cho \( MA = MD \).

### a) Chứng minh \( AB = DC \) và \( AB \parallel BC \)

#### Chứng minh \( AB = DC \):

Vì \( AM \) là đường trung tuyến của tam giác vuông \( ABC \), nên có \( M \) là trung điểm của \( BC \). Vậy:
\[
AM = \frac{1}{2}BC
\]

Ta có \( MA = AM \) cho nên \( MD = MA \).

Vì \( D \) nằm trên tia đối của \( MA \), nghĩa là \( MD = MA = \frac{1}{2}BC \).

Áp dụng định lý về đường trung tuyến trong tam giác:
- Trong tam giác \( ABM \) và tam giác \( DCM \), ta có:
- \( AM = MD \)
- \( M \) là trung điểm của \( BC \)

Từ đó suy ra \( AB = DC \).

#### Chứng minh \( AB \parallel BC \):

Tam giác \( ABC \) có góc vuông tại \( A \), vì vậy \( AB \) vuông góc với \( AC \).
Do \( AM \) là đường trung tuyến và nối trung điểm \( M \) với đỉnh \( A \), \( D \) nằm trên tia đối của \( AM \), có nghĩa là:
- Nếu kéo dài \( AB \), nó sẽ song song với \( BC \).

Nếu ta vẽ đường thẳng \( AD \), ta sẽ nhận thấy rằng \( AB \) và \( BC \) không chỉ song song mà còn có độ dài tương ứng.

Tóm lại:
\[
AB \parallel BC
\]

### b) Tính góc \( ABD \)

Ta có \( \triangle ABD \):
- \( D \) nằm trên tia đối của \( MA \) và \( MA = MD \)
- \( AB = DC \)

Góc \( ABD \) được tính như sau:
- Nếu \( AM \) là đường trung tuyến, và điểm \( D \) nằm trên đường thẳng kéo dài từ \( A \) với cùng độ dài từ \( M \) đến \( D \), thì \( \angle ABD \) sẽ bằng với \( \angle ADB \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), và tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có:
\[
\angle ADB + \angle ABD = 90^\circ
\]

Và ta thấy rằng với \( DC = AB \), góc \( ABD \) chính xác sẽ có trị số bằng với góc \( A \) phụ thuộc vào độ dài của \( AB \).

Vì vậy, ta có được:
\[
\angle ABD = \angle A = 90^\circ - \angle ADB
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu trong đề bài.