Để chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang, ta sẽ sử dụng các tính chất đã cho:

1. **Giả thuyết**:
- \(AB = AD\)
- \(BD\) là tia phân giác của góc \(B\)

2. **Chứng minh**:
- Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) với cạnh \(AC\).
- Theo tính chất của tia phân giác, ta có \(\frac{AI}{IC} = \frac{AB}{BC}\).
- Vì \(AB = AD\), ta có \(\frac{AI}{IC} = \frac{AB}{AB} = 1\), do đó \(AI = IC\). Vậy \(I\) là trung điểm của \(AC\).

3. **Kết luận**:
- Xét 2 tam giác \(ABD\) và \(ACD\):
- \(AB = AD\) (theo giả thuyết),
- \(AI = IC\) (do \(I\) là trung điểm),
- \(BD\) chia đôi đoạn \(AC\) thành 2 đoạn bằng nhau.
- Suy ra, góc \(ABD = \angle ACD\) và \(AB \parallel CD\).

Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình thang.