Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = (2m-1)x + m + 2 \) cắt đường thẳng \( y = -x + 1 \) tại một điểm nằm trên trục hoành, ta cần giải hệ phương trình sau:

\[
(2m-1)x + m + 2 = -x + 1
\]

Ta thực hiện các bước sau:

1. **Đưa tất cả về một phía:**

\[
(2m - 1)x + x + m + 2 - 1 = 0
\]

Gọn lại ta có:

\[
(2m)x + m + 1 = 0
\]

2. **Tìm nghiệm của phương trình:**

Để phương trình có nghiệm trên trục hoành (tức là \( y = 0 \)), ta đặt \( y = 0 \):

\[
(2m)x + (m + 1) = 0
\]

Điều này dẫn đến:

\[
x = -\frac{m+1}{2m}
\]

3. **Xác định điều kiện \( y = 0 \):**

Ta thay \( x = -\frac{m+1}{2m} \) vào Hàm số đường thẳng \( y = -x + 1 \):

\[
y = -\left(-\frac{m+1}{2m}\right) + 1 = \frac{m+1}{2m} + 1
\]

Ta cần tìm điều kiện cho \( y = 0 \):

\[
\frac{m+1}{2m} + 1 = 0
\]

Khi giải phương trình này, ta tìm thấy \( y \):

\[
\frac{m+1 + 2m}{2m} = 0 \Rightarrow 3m + 1 = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{3}
\]

4. **Điều kiện của \( m \):**

Sau khi tìm giá trị \( m = -\frac{1}{3} \) ta cần chắc chắn rằng \( m \neq \frac{1}{2} \) thoả mãn đề bài. Thật vậy:

\[
-\frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}
\]

Vậy, giá trị của \( m \) để đồ thị hàm số \( y = (2m-1)x + m + 2 \) cắt đường thẳng \( y = -x + 1 \) tại một điểm nằm trên trục hoành là:

\[
\boxed{-\frac{1}{3}}
\]