Để chứng minh các tính chất đã cho của hình bình hành \(ABCD\) với các điểm trung điểm \(I\) và \(K\), cũng như các cắt nhau của đường chéo \(BD\) với các đoạn thẳng \(AI\) và \(CK\), ta sẽ tiến hành như sau:

**Phần a: Chứng minh \( AI \parallel CK \)**

Trong hình bình hành \(ABCD\):
- Các cạnh đối diện bằng nhau: \(AB = CD\) và \(AD = BC\).
- Đường chéo \(BD\) chia hình bình hành thành hai tam giác \(ABD\) và \(CDB\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\) và \(K\) là trung điểm của \(AB\).

Khi đó, ta có:
- \(AI\) nối \(A\) với trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(CD\).
- \(CK\) nối \(C\) với trung điểm \(K\) của đoạn thẳng \(AB\).

Xét các tam giác \(AIB\) và \(DKC\):
- \(AI\) là đoạn nối từ \(A\) đến trung điểm của \(CD\),
- \(CK\) là đoạn nối từ \(C\) đến trung điểm của \(AB\).

Vì \(I\) và \(K\) là trung điểm, nên:
\(AI = \frac{1}{2}CD\) và \(CK = \frac{1}{2}AB\).

Trong tam giác \(AIB\) và \(DKC\), theo định lý Thales, ta thấy rằng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng của các tam giác này bằng nhau. Do đó, ta có \(AI \parallel CK\).

**Phần b: Chứng minh \( DE = EF = FB \)**

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AI\) và đường chéo \(BD\), và \(F\) là giao điểm của \(CK\) và đường chéo \(BD\).

Qua tính chất hình bình hành, ta có:
- Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm (tức là chúng chia nhau thành các đoạn bằng nhau).

Ta sẽ chứng minh rằng:
- \(DE = EF\) và \(EF = FB\).

Gọi \(D\) và \(B\) lần lượt là các đỉnh của hình bình hành. Vì \(C\) là một đỉnh đối diện của \(AB\), nên ta có:
- \(DE\) là một phần đoạn nối \(D\) đến \(E\),
- \(EF\) là một phần đoạn nối \(E\) đến \(F\),
- \(FB\) là một phần đoạn nối \(F\) đến \(B\).

Dựa vào tính chất của đường chéo cắt nhau, các đoạn này sẽ chia nhau thành các đoạn bằng nhau:
- \(DE = EF\) và \(EF = FB\).

Vậy \(DE = EF = FB\).

Từ các phần đã chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu:
- \(AI \parallel CK\) và \(DE = EF = FB\).