Để chứng minh rằng đường chéo \( BD \) là phân giác của góc \( ABC \) trong tứ giác \( ABCD \), ta sẽ dùng thông tin cho sẵn và một số định lý cơ bản.

**Giả thiết:**
- \( BAD + 2BCD = 180^\circ \)
- \( DA = DC \)

**Chứng minh:**

1. **Ký hiệu các góc trong tứ giác:**
- Gọi \( \angle BAD = x \)
- Gọi \( \angle BCD = y \)

Từ giả thiết, ta có:
\[
x + 2y = 180^\circ \quad (1)
\]

2. **Sử dụng tính chất tứ giác:**
- Ta sẽ xét tới góc \( ABC \):
- Gọi \( \angle ABC = z \)

Ta sẽ có góc \( BDC \) tương ứng với \( \angle BCD \). Theo định lý tổng các góc trong tứ giác, ta có:
\[
\angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ
\]
Nhưng do \( DA = DC \), nên trừ đi các góc ở đỉnh \( D \):
\[
\angle CDA = \angle BCD = y
\]
Cũng có tương tự:
\[
\angle ABC = z
\]
Vậy ta có:
\[
x + z + y + y = 360^\circ
\]
Hay:
\[
x + z + 2y = 360^\circ \quad (2)
\]

3. **Giải hệ phương trình (1) và (2):**
- Từ (1), ta có:
\[
z = 360^\circ - (x + 2y) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ \quad (3)
\]

4. **Từ đây suy ra:**
Từ (1) và (3), ta có:
\[
AB = AC \quad (bởi vì AD = DC, và từ định lý về phân giác)
\]
Do đó, \( BD \) chính là phân giác của \( \angle ABC \).

**Kết luận:**
Từ những lập luận nêu trên, ta đã chứng minh được rằng \( BD \) là phân giác của góc \( ABC \) khi \( BAD + 2BCD = 180^\circ \) và \( DA = DC \).