Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( (n+1)(n+19) \) là số nguyên tố, ta có thể phân tích như sau:

1. Xét biểu thức: \( (n+1)(n+19) \).
2. Biểu thức này có thể viết lại là \( n^2 + 20n + 19 \).

Để \( (n+1)(n+19) \) là số nguyên tố, một trong hai yếu tố \( (n+1) \) hoặc \( (n+19) \) phải bằng 1 và yếu tố còn lại phải là số nguyên tố.

- Nếu \( n + 1 = 1 \) thì \( n = 0 \):
\[
(0 + 1)(0 + 19) = 1 \times 19 = 19 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

- Nếu \( n + 19 = 1 \) thì \( n = -18 \), nhưng \( n \) phải là số tự nhiên nên trường hợp này không hợp lệ.

Kiểm tra với các giá trị \( n \) lớn hơn 0:
- Nếu \( n = 1 \): \( (1 + 1)(1 + 19) = 2 \times 20 = 40 \) (không phải số nguyên tố)
- Nếu \( n = 2 \): \( (2 + 1)(2 + 19) = 3 \times 21 = 63 \) (không phải số nguyên tố)
- Nếu \( n = 3 \): \( (3 + 1)(3 + 19) = 4 \times 22 = 88 \) (không phải số nguyên tố)
- Nếu \( n = 4 \): \( (4 + 1)(4 + 19) = 5 \times 23 = 115 \) (không phải số nguyên tố)
- Nếu \( n = 5 \): \( (5 + 1)(5 + 19) = 6 \times 24 = 144 \) (không phải số nguyên tố)

Cứ tiếp tục như vậy, ta thấy rằng không có giá trị \( n > 0 \) nào để \( (n+1)(n+19) \) là số nguyên tố.

Vậy, số tự nhiên \( n \) duy nhất thỏa mãn là \( n = 0 \).