Cho ∆ABC có I là giao điểm các đường phân giác. M là điểm bất kì nằm trong tam giác. Gọi A′; B′; C′ lần lượt là điểm đối xứng của M qua AI; BI; CI

a) Ta cần chứng minh rằng \( A'D = A'E \).

**Chứng minh:**

Gọi \( I \) là điểm trong tam giác \( \triangle ABC \) là giao điểm của các đường phân giác. \( A' \), \( B' \), và \( C' \) lần lượt là các điểm đối xứng của điểm \( M \) qua \( AI \), \( BI \), \( CI \).

1. Khi xem xét các tam giác \( \triangle AIB \) và \( \triangle AIC \):
- Điểm \( D \) là điểm đối xứng của \( M \) qua cạnh \( AB \) nên \( D \) nằm trên đường thẳng vuông góc với đường phân giác \( AI \) tại điểm \( M \).
- Tương tự, điểm \( E \) là điểm đối xứng của \( M \) qua cạnh \( AC \) nên \( E \) cũng nằm trên đường thẳng vuông góc với đường phân giác \( AI \).

2. Do đó, \( A'M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( A'D \) và có độ dài bằng đoạn thẳng \( A'E \).

3. Do tính chất của đối xứng, chiều dài đoạn thẳng \( A'D \) bằng chiều dài đoạn thẳng \( A'E \). Vậy ta có:
\[
A'D = A'E.
\]
Nguyễn) Như vậy, ta đã chứng minh \( A'D = A'E \).

---

b) Chứng minh rằng \( AA' \), \( BB' \), \( CC' \) đồng quy.

**Chứng minh:**

1. Ta có mối quan hệ giữa các đường thẳng \( AA' \), \( BB' \), \( CC' \) và điểm I (điểm chính giữa) trong tam giác. Do \( A' \), \( B' \), và \( C' \) là các điểm đối xứng của điểm \( M \) qua các đường phân giác \( AI \), \( BI \), và \( CI \), rằng \( A' \), \( B' \), và \( C' \) sẽ nằm ở trên các tỉ lệ đối xứng tương ứng với \( M \).

2. Cũng theo định lý Ceva, để chứng minh rằng ba đường thẳng \( AA' \), \( BB' \), và \( CC' \) đồng quy, ta sẽ chứng minh rằng tích tỉ số của các đoạn thẳng trên các cạnh của tam giác \( \triangle ABC \) bằng 1.

3. Cụ thể, tính chất đối xứng và chỉ số tỉ lệ giữa các đoạn thẳng:

\[
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.
\]

Điều này cho thấy rằng ba đường thẳng \( AA' \), \( BB' \), và \( CC' \) chính là các đường phân giác của tam giác \( \triangle A'B'C' \) và chúng sẽ gặp nhau tại cùng một điểm.

4. Do đó, \( AA' \), \( BB' \), và \( CC' \) đồng quy.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AA' \), \( BB' \), \( CC' \) đồng quy.