Rút gọn

Chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức theo yêu cầu:

### a. \( \frac{2}{a} \cdot \frac{\sqrt{164} \cdot 2}{9} \) (với \(a < 0\))
Trước tiên, rút gọn biểu thức:
\[
\sqrt{164} = \sqrt{4 \cdot 41} = 2\sqrt{41}
\]
Thay vào biểu thức:
\[
\frac{2}{a} \cdot \frac{2\sqrt{41} \cdot 2}{9} = \frac{8\sqrt{41}}{9a}
\]

### b. \( \frac{3}{a - 1} \cdot \frac{\sqrt{4a^2 - 8a + 4}}{25} \) (với \(a > 1\))
Biểu thức trong căn là:
\[
4a^2 - 8a + 4 = (2a - 2)^2
\]
Vì vậy, có:
\[
\sqrt{4a^2 - 8a + 4} = 2a - 2
\]
Thay vào biểu thức:
\[
\frac{3}{a - 1} \cdot \frac{2a - 2}{25} = \frac{3(2a - 2)}{25(a - 1)} = \frac{6(a - 1)}{25(a - 1)} = \frac{6}{25} \quad (a \neq 1)
\]

### c. \( \frac{2y}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2}}{4y^4} \) (với \(y \neq 0\))
Rút gọn biểu thức:
\[
\sqrt{x^2} = |x|
\]
Biểu thức trở thành:
\[
\frac{2y \cdot |x|}{4y^4 \cdot x} = \frac{2|x|}{4y^3} = \frac{|x|}{2y^3}
\]

### d. \( (x - y) \cdot \frac{\sqrt{36}}{x^2 - 2xy + y^2} \) (với \(x \neq y\))
Ta có:
\[
\sqrt{36} = 6 \quad \text{và} \quad x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2
\]
Do đó:
\[
\frac{6}{(x - y)^2}
\]
Biểu thức trở thành:
\[
(x - y) \cdot \frac{6}{(x - y)^2} = \frac{6}{x - y}
\]

### e. \( \frac{\sqrt{243a}}{\sqrt{3a}} \) (với \(a > 0\))
Chúng ta có:
\[
\sqrt{243a} = \sqrt{81 \cdot 3 \cdot a} = 9\sqrt{3a}
\]
Bây giờ rút gọn biểu thức:
\[
\frac{9\sqrt{3a}}{\sqrt{3a}} = 9
\]

### f. \( 3 \cdot \frac{\sqrt{18a^2 b^4}}{\sqrt{2a^2 b^2}} \) (với \(a \neq 0, b \neq 0\))
Tiến hành rút gọn:
\[
\sqrt{18a^2b^4} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b^4} = 3b^2\sqrt{2a^2} = 3ab\sqrt{2}
\]
Và:
\[
\sqrt{2a^2b^2} = \sqrt{2} \cdot ab
\]
Vậy, biểu thức gốc trở thành:
\[
3 \cdot \frac{3ab\sqrt{2}}{\sqrt{2}ab} = 3 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \cdot 3 = 9
\]

### Tóm tắt kết quả:
- a: \( \frac{8\sqrt{41}}{9a} \)
- b: \( \frac{6}{25} \)
- c: \( \frac{|x|}{2y^3} \)
- d: \( \frac{6}{x - y} \)
- e: \( 9 \)
- f: \( 9 \)