Để giải phương trình \( \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{23}{8}} x - \frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \), ta sẽ phân tích từng phần.

Trước hết, ta nhận thấy rằng cả hai phương trình đều có thành phần \(-\frac{1}{4}\) ở bên trái, nên ta có thể bỏ qua thành phần này và chỉ giải phương trình:

1. **Đầu tiên, phân tích thành phần:**
\[
\frac{3}{8} x = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{23}{8}} x
\]

Để giải phương trình này, ta sẽ biến đổi nó về một dạng đơn giản hơn. Chúng ta có thể nhân cả hai vế với \( \frac{8}{3} \):

\[
x = \left( \frac{8}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{23}{8}} x
\]

2. **Tiếp theo, chuyển \(x\) sang một bên:**
\[
x - \left( \frac{8}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{23}{8}} x = 0
\]

Nhân \(x\) ra ngoài:
\[
x \left( 1 - \left( \frac{8}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{23}{8}} \right) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm, hoặc \(x = 0\) hoặc:
\[
1 - \left( \frac{8}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{23}{8}} = 0
\]

3. **Giải phương trình thứ hai:**
\[
\left( \frac{8}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{23}{8}} = 1
\]

Từ đó, ta tính được:
\[
\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{23}{8}} = \frac{3}{8}
\]

Tóm lại, phương trình có hai nghiệm:

\[
x = 0
\]

Hoặc có thể suy ra thêm từ điều kiện thứ hai. Tuy nhiên, với điều kiện \(x\) có thể là 0, đây là nghiệm chính.

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0\).