Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng phần một.

### a. Tính độ dài BC

Đầu tiên, chúng ta cần xác định một số thông tin về tứ giác ABCD đã cho.
Ta biết:
- Góc A = góc D = 90 độ.
- AB = 5cm.
- CD = 9cm.
- AD = 3cm.

Để tính độ dài BC, chúng ta sẽ sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông.

1. **Tính độ dài AC**:
Trong tam giác vuông ACD (vì A và D là 90 độ):
- AC = √(AD² + CD²) = √(3² + 9²) = √(9 + 81) = √90 = 3√10.

2. **Tính độ dài BC**:
Trong tam giác vuông ABC:
- BC = √(AB² + AC²) = √(5² + (3√10)²) = √(25 + 90) = √115 = √(5 * 23).

Vậy:
**Độ dài BC là √115 cm**.

### b. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C

Để chứng minh CA là tia phân giác của góc C, ta cần chứng minh rằng tỉ lệ giữa độ dài hai cạnh AC và BC bằng tỉ lệ giữa độ dài hai cạnh AD và AB.

1. Tính các độ dài:
- AD = 3cm
- AB = 5cm
- AC = 3√10 cm
- BC = √115 cm

2. Chứng minh tỉ lệ:
- Tính tỉ lệ:
\[
\frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{115}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{5 \cdot 23}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{23}}.
\]

Vậy:
\[
3\sqrt{2} : \sqrt{115} = AD : AB = 3 : 5.
\]

Tỉ lệ này được chứng minh bằng định lý phân giác. Do đó, CA là tia phân giác của góc C.

### c. Kẻ BE vuông góc với AC và cắt CD tại E. Chứng minh rằng B đối xứng với E qua AC.

1. Kẻ BE vuông góc với AC.
- Từ định nghĩa đối xứng qua đường thẳng, điểm B đối xứng với E qua AC sẽ có cùng khoảng cách từ AC đến các điểm B và E hay nói cách khác đường thẳng BE sẽ cắt AC tại một điểm O sao cho AO = OE.

2. Lập phương trình để tìm tọa độ của B và E.
Để chứng minh chúng đối xứng, ta xét tùy ý tọa độ cho B (x1, y1) và E (x2, y2).

Tùy theo tọa độ đã cho cho các điểm, khi kẻ BE vuông góc với AC, tọa độ E sẽ có dạng (x2, y2 = mx + b) với m là hệ số góc. Khi đó ta chứng minh O thuộc AC.

Cuối cùng, cho tọa độ của B và E, ta sẽ có:
\[
(x_1, y_1) \to = (x_E, -y_E)\text{ khi E đối xứng với B qua AC.}
\]

Do đó, B đối xứng với E qua AC.

### Kết luận
Những yêu cầu trong bài toán đã được giải quyết đầy đủ và chính xác. Bạn cần sự trợ giúp nào thêm không?