Để chứng minh rằng AE song song với CE trong hình bình hành ABCD, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và tính chất của các đoạn thẳng.

1. **Tính chất hình bình hành**: Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau. Cụ thể, ta có:
- AB = CD
- AD = BC
- ∠DAB = ∠BCD
- ∠ABC = ∠ADC

2. **Các điểm trên đường chéo**: Ta đã có điểm E và F nằm trên đường chéo BD sao cho DE = BI.

3. **Chứng minh AE // CE**:
- Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD, từ đặc điểm của hình bình hành, ta có BI = ID và DE = BI (theo giả thiết).
- Kết hợp với DE = BI thì cũng có thể suy ra rằng:
- DE = ID.
- Vì I là trung điểm và DE = ID, nên E là trung điểm của đoạn thẳng DI.

4. **Sử dụng tính chất hình bình hành**:
- Tại điểm A, vẽ đoạn thẳng AE.
- Tại điểm C, vẽ đoạn thẳng CE.
- Vì AE = EC (do E là trung điểm và đoạn thẳng DI bình hành), cho nên AE song song với CE theo định lý hình thang.

5. **Kết luận**: Như vậy, dựa vào tính chất của hình bình hành và các đoạn thẳng, ta có thể kết luận rằng AE // CE.

Tóm lại, trong hình bình hành ABCD, với E, F nằm trên BD sao cho DE = BI, ta đã chứng minh được AE song song với CE.